一、等积变换模型
模型概述
等积变换模型是小学奥数几何中的重要模型，主要研究三角形和平行四边形的面积关系。该模型基于三角形面积的计算公式，通过底和高的乘积来分析三角形面积的变化。
模型要点
- 等底等高的两个三角形面积相等：若两个三角形的底相等且高相等，则它们的面积也相等。
- 两个三角形高相等，面积比等于底之比：若两个三角形的高相等，则它们的面积比等于底之比。
- 两个三角形底相等，面积比等于高之比：若两个三角形的底相等，则它们的面积比等于高之比。
- 正方形的面积等于对角线长度平方的一半：正方形的面积与其对角线长度平方的一半相等。
- 一半模型：三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。
例题解析
例1：已知等底等高的三角形ABC和三角形A’B’C’，若底BC=8，高AD=6，求三角形A’B’C’的面积。
解：由于三角形ABC和三角形A’B’C’等底等高，所以它们的面积相等。三角形ABC的面积为：
S_ABC = (底BC × 高AD) / 2 = (8 × 6) / 2 = 24
因此，三角形A’B’C’的面积也是24。
二、共角定理模型
模型概述
共角定理模型研究两个三角形中有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比。该模型为解决三角形面积比问题提供了重要依据。
模型要点
- 共角三角形的面积比等于对应角的两夹边的乘积之比。
- 当两个三角形中有一个角相等或互补时，它们的面积比等于对应角的两夹边的乘积之比。
例题解析
例2：在三角形ABC中，点D、E分别位于AB、AC上，且∠ABC=∠ADE=60°，若AB=6，AC=8，求三角形ADE的面积。
解：由于∠ABC=∠ADE=60°，三角形ABC和三角形ADE共角，且∠BAC=∠DAE=60°，所以三角形ABC和三角形ADE共角。根据共角定理，三角形ABC和三角形ADE的面积比为：
S_ABC : S_ADE = BC × AC : AD × AE
由题意得，AB=6，AC=8，∠ABC=∠ADE=60°，则BC=AB×cos60°=6×1/2=3，AC=8×cos60°=8×1/2=4。
设AD=BE=x，则AE=AC-x=8-x，CD=AB-x=6-x。由共角定理，得到：
S_ABC : S_ADE = 3 × 4 : x × (8-x)
由S_ABC = (BC × AC) / 2，得到S_ABC = (3 × 4) / 2 = 6。将S_ABC的值代入上式，得到：
6 : S_ADE = 3 × 4 : x × (8-x)
化简得：
S_ADE = x × (8-x)
由S_ABC : S_ADE = 6 : S_ADE，得到：
6 : S_ADE = 6 : (x × (8-x))
化简得：
x × (8-x) = 6
解得x=2或x=3。由于D、E分别位于AB、AC上，所以x=3，即AD=BE=3，AE=8-x=5。
因此，三角形ADE的面积为：
S_ADE = (底AD × 高AE) / 2 = (3 × 5) / 2 = 7.5
三、蝴蝶定理模型
模型概述
蝴蝶定理模型研究任意四边形中面积与线段之间的关系。该模型通过构造模型或联系三角形面积，解决不规则四边形的面积问题。
模型要点
- 蝴蝶定理：任意四边形中的面积与线段之间的关系。
- 构造模型：将不规则四边形分割成三角形，通过三角形面积来计算四边形面积。
例题解析
例3：已知四边形ABCD，其中AB=6，BC=8，CD=5，AD=7，求四边形ABCD的面积。
解：作辅助线，将四边形ABCD分割成三角形ABD、BCD和三角形ADC。
由等积变换模型，三角形ABD和三角形ACD的面积比为：
S_ABD : S_ACD = AB × AD : AC × AD
代入数值，得到：
S_ABD : S_ACD = 6 × 7 : 8 × 7
化简得：
S_ABD : S_ACD = 3 : 4
由等积变换模型，三角形BCD和三角形ACD的面积比为：
S_BCD : S_ACD = BC × CD : AC × AD
代入数值，得到：
S_BCD : S_ACD = 8 × 5 : 8 × 7
化简得：
S_BCD : S_ACD = 5 : 7
由于四边形ABCD的面积等于三角形ABD、BCD和ADC的面积之和，所以：
S_ABCD = S_ABD + S_BCD + S_ACD
代入面积比，得到：
S_ABCD = 3⁄7 × S_ACD + 5⁄7 × S_ACD + S_ACD
化简得：
S_ABCD = (3 + 5 + 7) × S_ACD / 7
代入数值，得到：
S_ABCD = 15 × 7 / 7
化简得：
S_ABCD = 15
因此，四边形ABCD的面积为15。
四、相似模型
模型概述
相似模型研究相似三角形的面积比。该模型基于相似三角形对应线段的比例关系，解决相似三角形面积比问题。
模型要点
- 相似三角形的对应线段成比例。
- 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
例题解析
例4：在相似三角形ABC和A’B’C’中，若AB=6，BC=8，A’B’=4，B’C’=5，求三角形A’B’C’的面积。
解：由相似三角形对应线段的比例关系，得到：
AB : A’B’ = BC : B’C’
代入数值，得到：
6 : 4 = 8 : 5
化简得：
A’B’ : AB = B’C’ : BC
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到：
S_A’B’C’ : S_ABC = (A’B’ : AB)^2 = (B’C’ : BC)^2
代入数值，得到：
S_A’B’C’ : S_ABC = (4 : 6)^2 = (5 : 8)^2
化简得：
S_A’B’C’ : S_ABC = 4 : 9
由S_ABC = (底BC × 高AD) / 2，得到S_ABC = (8 × 6) / 2 = 24。
因此，三角形A’B’C’的面积为：
S_A’B’C’ = S_ABC × (S_A’B’C’ : S_ABC) = 24 × (4 : 9) = 10.67
五、燕尾定理模型
模型概述
燕尾定理模型研究三角形面积与线段之间的比例关系。该模型基于三角形面积的计算公式，通过底和高的乘积来分析三角形面积与线段之间的比例关系。
模型要点
- 三角形面积与底、高之间的比例关系。
- 三角形面积与线段之间的比例关系。
例题解析
例5：在三角形ABC中，点D、E分别位于AB、AC上，且AD=6，AE=8，求三角形BDE的面积。
解：由三角形面积的计算公式，得到：
S_ABC = (底AB × 高AD) / 2 = (底AC × 高AE) / 2
化简得：
AB × AD = AC × AE
由于AB=BC+CD，AC=BD+CE，代入上式，得到：
(BC+CD) × AD = (BD+CE) × AE
化简得：
BC × AD + CD × AD = BD × AE + CE × AE
由于三角形ABC的面积等于三角形BDE、BCE和CDE的面积之和，所以：
S_ABC = S_BDE + S_BCE + S_CDE
代入上式，得到：
BC × AD + CD × AD = BD × AE + CE × AE + S_BCE + S_CDE
由于AD=6，AE=8，代入上式，得到：
BC × 6 + CD × 6 = BD × 8 + CE × 8 + S_BCE + S_CDE
化简得：
6BC + 6CD = 8BD + 8CE + S_BCE + S_CDE
由于三角形BCE和三角形CDE的面积相等，所以：
S_BCE = S_CDE
代入上式，得到：
6BC + 6CD = 8BD + 8CE + 2S_BCE
化简得：
3BC + 3CD = 4BD + 4CE + S_BCE
由于BC+CD=BD+CE，代入上式，得到：
3BC + 3CD = 4BC + 4CD - S_BCE
化简得：
S_BCE = 3BC + 3CD - 4BC - 4CD = BC - CD
由等积变换模型，三角形BDE和三角形BCE的面积比为：
S_BDE : S_BCE = BD : BC
代入数值，得到：
S_BDE : S_BCE = BD : 6
由S_BDE = S_ABC - S_BCE，代入数值，得到：
S_BDE = 6 - BC - CD = 6 - 6 = 0
因此，三角形BDE的面积为0。