奥数作为一项旨在培养学生的逻辑思维能力和数学解题技巧的学科，其中蕴含着丰富的模型和解题方法。掌握这些模型，如同拥有了破解数学难题的秘密武器。以下是奥数中常见的五大模型及其解析，帮助学生们更好地理解和应用。
一、等积变换模型
概念
等积变换模型主要涉及三角形面积之间的关系。根据这一模型，等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
应用
等底等高三角形面积相等：如两个三角形底边相同，高也相同，则它们的面积相等。
高相等时，面积比等于底之比：若两个三角形的高相等，面积之比等于它们的底之比。
底相等时，面积比等于高之比：若两个三角形的底相等，面积之比等于它们的高之比。
例题
连接CE，如图。AE = 3AB，所以 ( S{AEC} = \frac{3}{4}S{ABC} )。又因为 ( BD^2 = BC )，所以 ( S{BDE} = \frac{1}{2}S{BCE} )。点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用。
二、鸟头定理模型
概念
鸟头定理（共角定理）模型指出，两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
应用
共角三角形面积比：如三角形ABC和ADE中，∠A为共角，则 ( S{ABC} : S{ADE} = AB \cdot AC : AD \cdot AE )。
利用正弦定理证明：可以用正弦定理证明该结论。
例题
在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（如图1）或D在BA的延长线上，E在AC上（如图2），则 ( S{ABC} : S{ADE} = AB \cdot AC : AD \cdot AE )。
三、蝴蝶定理模型
概念
蝴蝶定理模型指的是任意四边形中的比例关系。具体来说， ( S_1 : S_2 : S_3 : S_4 = 1 : 2 : 4 : 8 ) 或 ( S_1 : S_2 : S_3 : S_4 = 1 : 3 : 2 : 4 )。
应用
四边形面积比：如四边形ABCD中， ( S{ABCD} = S{ABC} + S{BCD} + S{CDA} + S_{DAB} )。
利用比例关系求解：根据蝴蝶定理模型，可以求解四边形面积比。
例题
任意四边形ABCD中， ( S{ABCD} = S{ABC} + S{BCD} + S{CDA} + S_{DAB} )。
四、相似三角形模型
概念
相似三角形模型主要研究两个三角形相似的条件和性质。两个三角形相似的条件是对应边成比例，对应角相等。
应用
相似三角形面积比：若两个三角形相似，则它们的面积比等于对应边长的平方比。
相似三角形比例关系：如三角形ABC和DEF相似，则 ( \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} )。
例题
三角形ABC和DEF相似，则 ( \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} )。
五、燕尾定理模型
概念
燕尾定理模型主要研究三角形中的面积比与边长比之间的关系。具体来说， ( S{ABD} : S{ADC} = BD : DC )。
应用
三角形面积比：若三角形ABC中，D为BC上任意一点，则 ( S{ABD} : S{ADC} = BD : DC )。
利用燕尾模型求解：根据燕尾定理模型，可以求解三角形面积比。
例题
三角形ABC中，D为BC上任意一点，则 ( S{ABD} : S{ADC} = BD : DC )。
通过以上五大模型的解析，相信学生们在解决奥数几何问题时能够更加得心应手。希望这些模型能够成为你们破解数学难题的秘密武器。