模型一：一次函数的最值问题
模型解读
一次函数的最值问题主要出现在线性方程和不等式的研究中。它涉及的是函数在其定义域内取得最大值或最小值的点。一次函数的一般形式为 (y = ax + b)，其中 (a) 和 (b) 是常数，且 (a \neq 0)。
解题步骤
- 确定函数的单调性：根据 (a) 的正负确定函数的单调性。若 (a > 0)，则函数在定义域内单调递增；若 (a < 0)，则函数在定义域内单调递减。
- 寻找定义域：明确函数的定义域，通常是一次函数的定义域为全体实数。
- 确定最值点：对于单调递增的函数，其最小值在定义域的左端点取得；对于单调递减的函数，其最大值在定义域的右端点取得。
例题
求解函数 (y = -2x + 5) 在 (x \in [1, 4]) 上的最大值和最小值。
解：由于 (a = -2 < 0)，函数在定义域内单调递减。因此，最大值在 (x = 1) 处取得，最小值在 (x = 4) 处取得。计算得 (y{\text{max}} = -2 \times 1 + 5 = 3)，(y{\text{min}} = -2 \times 4 + 5 = -3)。
模型二：一元二次方程的根与系数关系
模型解读
一元二次方程的一般形式为 (ax^2 + bx + c = 0)（(a \neq 0)）。它的根与系数之间存在着密切的关系。
解题步骤
- 判断根的存在性：根据判别式 (\Delta = b^2 - 4ac) 的值判断根的存在性。若 (\Delta > 0)，方程有两个不相等的实数根；若 (\Delta = 0)，方程有两个相等的实数根；若 (\Delta < 0)，方程无实数根。
- 求解根：利用求根公式 (x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}) 求解方程的根。
- 分析根与系数的关系：根据韦达定理，方程的两个根 (x_1) 和 (x_2) 满足 (x_1 + x_2 = -\frac{b}{a})，(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a})。
例题
解方程 (x^2 - 3x + 2 = 0)。
解：判别式 (\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 1 > 0)，方程有两个不相等的实数根。利用求根公式得 (x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = 2)，(x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = 1)。
模型三：勾股定理及其应用
模型解读
勾股定理是直角三角形中三边关系的基本定理，表述为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
解题步骤
- 识别直角三角形：首先确定题目中给出的图形是直角三角形。
- 标记三边：在直角三角形中，标记直角边和斜边。
- 应用勾股定理：将三边代入勾股定理公式 (a^2 + b^2 = c^2) 中求解。
例题
在直角三角形 (ABC) 中，(AB = 3)，(BC = 4)，求斜边 (AC) 的长度。
解：将 (AB) 和 (BC) 代入勾股定理公式得 (AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5)。
模型四：一元一次不等式及其解法
模型解读
一元一次不等式是指形如 (ax + b > 0)（或 (ax + b < 0)）的不等式，其中 (a) 和 (b) 是常数，(x) 是未知数。
解题步骤
- 移项：将不等式中的 (b) 移到不等式的另一边。
- 化简：将不等式两边同时除以 (a)（注意 (a) 的正负）。
- 解不等式：根据不等式的性质确定解的范围。
例题
解不等式 (2x - 3 < 5)。
解：移项得 (2x < 8)，化简得 (x < 4)。因此，不等式的解集为 (x \in (-\infty, 4))。