一、共角定理（鸟头定理）
模型原理
共角定理，又称鸟头定理，指出在两个三角形中，如果它们有一个角相等（或互补），则这两个三角形称为共角三角形。它们的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
模型图示
应用实例
假设在三角形ABC和三角形DEF中，∠A = ∠D，且AB = DE，求证：S△ABC = S△DEF。
解题步骤
- 根据共角定理，得到S△ABC : S△DEF = AB : DE。
- 由题意得AB = DE，因此S△ABC = S△DEF。
二、等积变换定理
模型原理
等积变换定理指出，等底等高的两个三角形面积相等。此外，两个三角形（底）高相等，面积之比等于高（底）之比。
模型图示
应用实例
假设在三角形ABC和三角形DEF中，AB = DE，高AD = 高DF，求证：S△ABC = S△DEF。
解题步骤
- 根据等积变换定理，得到S△ABC : S△DEF = AB : DE。
- 由题意得AB = DE，因此S△ABC = S△DEF。
三、梯形蝴蝶定理
模型原理
梯形蝴蝶定理指出，在任意四边形中，存在以下比例关系：
- S1 : S2 : S3 : S4 = a : b : ab : ab。
- 在梯形中，对应份数为a : b。
模型图示
应用实例
假设在梯形ABCD中，AD = BC，求证：S△ABC : S△BCD : S△CDA : S△DAB = 1 : 2 : 2 : 1。
解题步骤
- 根据梯形蝴蝶定理，得到S△ABC : S△BCD : S△CDA : S△DAB = 1 : 2 : 2 : 1。
- 由题意得AD = BC，因此S△ABC : S△BCD : S△CDA : S△DAB = 1 : 2 : 2 : 1。
四、相似三角形定理
模型原理
相似三角形定理指出，形状相同，大小不相等的两个三角形相似。相似三角形的一切对应线段的长度成比例，且这个比例等于它们的相似比。相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
模型图示
应用实例
假设在三角形ABC和三角形DEF中，∠A = ∠D，AB = DE，求证：△ABC ∼ △DEF。
解题步骤
- 根据相似三角形定理，得到∠A = ∠D，AB = DE，因此△ABC ∼ △DEF。
- 由相似三角形性质，得到AB : DE = BC : EF = AC : DF。
五、燕尾定理模型
模型原理
燕尾定理模型是指，在三角形中，某一边上的中线等于另一边上的高。
模型图示
应用实例
假设在三角形ABC中，AD = BC，求证：中线AE等于高CF。
解题步骤
- 根据燕尾定理模型，得到AD = BC，因此中线AE等于高CF。
- 由中线定理，得到AE = 1/2BC，CF = 1/2BC，因此AE = CF。