一、等差数列模型
1.1 定义与性质
等差数列是高中数学中最为基础和重要的数列类型之一。它是由一个常数差（公差）连接的数列，即每一项与前一项的差是常数。
1.2 通项公式
等差数列的通项公式为：( a_n = a_1 + (n - 1)d )，其中 ( a_1 ) 是首项，( d ) 是公差，( n ) 是项数。
1.3 求和公式
等差数列的前 ( n ) 项和公式为：( S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] )。
1.4 经典例题
例：已知等差数列 ( {a_n} ) 的首项为 2，公差为 3，求第 10 项和前 10 项的和。
解：( a{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 29 )，( S{10} = \frac{10}{2} [2 \times 2 + (10 - 1) \times 3] = 155 )。
二、等比数列模型
2.1 定义与性质
等比数列是由一个常数比（公比）连接的数列，即每一项与前一项的比是常数。
2.2 通项公式
等比数列的通项公式为：( a_n = a_1 \times q^{(n-1)} )，其中 ( a_1 ) 是首项，( q ) 是公比。
2.3 求和公式
等比数列的前 ( n ) 项和公式为：( S_n = \frac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q} )（( q \neq 1 )）。
2.4 经典例题
例：已知等比数列 ( {a_n} ) 的首项为 3，公比为 2，求第 5 项和前 5 项的和。
解：( a_5 = 3 \times 2^{(5-1)} = 48 )，( S_5 = \frac{3 (1 - 2^5)}{1 - 2} = 93 )。
三、递推数列模型
3.1 定义与性质
递推数列是每一项都依赖于前一项或前几项的数列。
3.2 递推公式
递推数列的通项公式通常由递推关系式给出，如 ( an = f(a{n-1}) )。
3.3 经典例题
例：已知递推数列 ( {a_n} ) 的首项为 1，递推关系式为 ( an = 2a{n-1} + 1 )，求第 4 项。
解：( a_1 = 1 )，( a_2 = 2 \times 1 + 1 = 3 )，( a_3 = 2 \times 3 + 1 = 7 )，( a_4 = 2 \times 7 + 1 = 15 )。
四、数列极限模型
4.1 定义与性质
数列极限是数列在某一项之后逐渐接近的值。
4.2 极限存在条件
数列极限存在的条件是数列有界且单调。
4.3 经典例题
例：已知数列 ( {a_n} ) 的通项公式为 ( an = \frac{1}{n} )，求 ( \lim{n \to \infty} a_n )。
解：( \lim_{n \to \infty} an = \lim{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 )。
五、数列综合应用模型
5.1 定义与性质
数列综合应用模型是将数列与其他数学知识相结合，如函数、不等式、解析几何等。
5.2 经典例题
例：已知数列 ( {a_n} ) 是等差数列，且 ( a_1 + a_2 + a_3 = 9 )，( a_2 + a_3 + a_4 = 15 )，求 ( a_1 ) 和 ( a_4 )。
解：设等差数列的公差为 ( d )，则 ( a_1 + a_1 + d + a_1 + 2d = 9 )，( a_1 + 2d + a_1 + 3d + a_1 + 4d = 15 )，解得 ( a_1 = 1 )，( a_4 = 7 )。
通过以上对数列五大经典模型的深度解析，希望对高考数学备考有所帮助。