立体几何是小学数学中一个重要的组成部分，它不仅能够培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，还能为后续的数学学习打下坚实的基础。在小学立体几何中，五大模型是解决各种问题的关键。以下是这五大模型的全面解析。
一、等积变换模型
等积变换模型是立体几何中最基础的模型之一。它主要包含以下几个要点：
- 等底等高的两个三角形面积相等：即如果两个三角形的底和高都相等，那么它们的面积也相等。
- 两个三角形高相等，面积之比等于底之比：如果两个三角形的高相等，那么它们的面积之比等于底之比。
- 两个三角形底相等，面积之比等于高之比：如果两个三角形的底相等，那么它们的面积之比等于高之比。
- 夹在一组平行线之间的等积变形：如果两个三角形夹在一组平行线之间，那么它们的面积之比等于对应平行线之间的距离之比。
例题
如图，三角形ABC的面积是24平方厘米，D、E分别是BC、AC的中点，求三角形DEF的面积。
分析：根据等积变换模型，三角形DEF与三角形ABC的面积之比为1:2，因此三角形DEF的面积为24平方厘米的一半，即12平方厘米。
二、鸟头模型（共角定理）
鸟头模型，也称为共角定理模型，主要研究两个三角形中有一个角相等或互补的情况。
- 共角三角形的面积比：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
- 证明：以三角形ABC和三角形ADE为例，如果∠A=∠A’，那么S△ABC：S△ADE=AB×AC：AD×AE。
例题
在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD:AB=2:3，AE:AC=3:1，三角形ABC的面积是36平方厘米，求三角形ADE的面积。
分析：根据鸟头模型，S△ABC：S△ADE=AD×AC：AB×AC=2×3：3×1=2:1，因此三角形ADE的面积为36平方厘米的一半，即18平方厘米。
三、蝴蝶定理模型
蝴蝶定理模型主要研究任意四边形中的比例关系。
- 蝴蝶定理：任意四边形中的面积比等于对应对角线的乘积之比。
- 证明：以四边形ABCD为例，S△ABC：S△CDA=S△ABD：S△BCD=AC×BD：CD×AB。
例题
在四边形ABCD中，S△ABC：S△CDA=2:3，S△ABD：S△BCD=3:2，求S△ABC的面积。
分析：根据蝴蝶定理，S△ABC：S△CDA=AC×BD：CD×AB，因此S△ABC的面积为2/5×S四边形ABCD。
四、相似模型
相似模型主要研究相似三角形的性质。
- 相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
- 证明：以三角形ABC和三角形A’B’C’为例，如果∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’，那么AB/A’B’=BC/B’C’=AC/A’C’，且S△ABC/S△A’B’C’=AB/A’B’×BC/B’C’×AC/A’C’。
例题
在相似三角形ABC和A’B’C’中，AB=6厘米，BC=8厘米，A’B’=4厘米，求A’C’的长度。
分析：根据相似三角形的性质，AB/A’B’=BC/B’C’，因此A’C’=AC/A’C’=BC/B’C’=8⁄4=2厘米。
五、燕尾定理模型
燕尾定理模型主要研究两个三角形中有一个角相等或互补的情况。
- 燕尾定理：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
- 证明：以三角形ABC和三角形ADE为例，如果∠A=∠A’，那么S△ABC：S△ADE=AB×AC：AD×AE。
例题
在三角形ABC和三角形ADE中，∠A=∠A’，AD=3厘米，AE=4厘米，S△ABC=24平方厘米，求S△ADE的面积。
分析：根据燕尾定理，S△ABC：S△ADE=AB×AC：AD×AE，因此S△ADE=24×3×4/3×4=24平方厘米。
通过以上对五大模型的全面解析，相信同学们对小学立体几何有了更深入的理解。在今后的学习中，希望大家能够灵活运用这些模型，解决更多实际问题。