引言
小升初数学考试中，几何部分往往占据重要地位。掌握五大模型定理及其公式，对于解决几何问题至关重要。本文将详细解析这五大模型定理，帮助同学们轻松应对小升初数学几何题目。
一、等积变换模型
1. 模型简介
等积变换模型主要研究三角形和四边形在特定条件下的面积关系。
2. 关键公式
- 等底等高的两个三角形面积相等。
- 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
- 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
- 夹在一组平行线之间的等积变形。
3. 应用实例
如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
解：\(S_{DEF} = \frac{1}{4}S_{ABC} = \frac{1}{4} \times 24 = 6\)。
二、共角定理模型
1. 模型简介
共角定理模型主要研究两个三角形中有一个角相等或互补时，它们的面积关系。
2. 关键公式
- 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
3. 应用实例
如图，在三角形ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，ADE的面积为12平方厘米，求三角形ABC的面积。
解：由题意知，\(S_{ABC} = 25S_{ADE} = 25 \times 12 = 300\)（平方厘米）。
三、蝴蝶定理模型
1. 模型简介
蝴蝶定理模型主要研究任意四边形中面积和线段的关系。
2. 关键公式
- 任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）：
- \(S_1 : S_2 : S_3 : S_4 = AO^2 : BO^2 : CO^2 : DO^2\)。
3. 应用实例
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且\(AO^2 = 2\)，求\(OC\)。
解：由题意知，\(S_{ABD} = \frac{1}{3}S_{BCD}\)，则\(AO^2 = 2 = \frac{1}{3}OC^2\)，解得\(OC = \sqrt{6}\)。
四、相似模型
1. 模型简介
相似模型主要研究相似三角形之间的边与面积关系。
2. 关键公式
- 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
- 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
3. 应用实例
如图，三角形ABC和三角形DEF相似，且\(AB = 3\)，\(DE = 4\)，求\(\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}\)。
解：由题意知，\(\frac{AB}{DE} = \frac{3}{4}\)，则\(\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\)。
五、总结
掌握五大模型定理及其公式，对于解决小升初数学几何问题具有重要意义。同学们在学习过程中，要注重理解模型原理，并熟练运用公式进行计算。相信通过不断练习，同学们一定能够在小升初数学考试中取得优异成绩。