几何学，作为数学的一个重要分支，以其严谨的逻辑和丰富的图形著称。在几何图形中，角平分线模型因其独特的性质和广泛的应用，成为几何学中一个重要的研究课题。以下将详细介绍八大角平分线模型，揭示其奥秘，并展示几何之美。
模型一：角平分线垂两边
模型描述：在一个角中，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，即 ( PA = PB )。
应用：在证明与边长、角度、三角形全等相关的几何问题时，可以利用此模型。
实例：在四边形ABCD中，若BC > AB，AD = DC，BD平分ABC，求证：BAD = BCD。
证明：作DEBC于E，作DFBA的延长线于F，∠FED = 90°，因为BD平分ABC，DF = DE，又AD = DC，∠FAD = ∠FDC，所以三角形ADF ≌ 三角形CDF（SAS），从而得到∠BAD = ∠BCD，即BAD = BCD。
模型二：角平分线垂中间
模型描述：角平分线上的垂线构造等腰三角形。
性质：角平分线上的垂线将角平分，且构造的三角形为等腰三角形。
应用：在证明与等腰三角形、三线合一相关的几何问题时，可以利用此模型。
实例：在三角形ABC中，BE是角BAC的平分线，AD ⊥ BE于D，求证：AD = DB。
证明：因为BE平分∠BAC，所以∠ABE = ∠CBE，又AD ⊥ BE，所以∠ADB = ∠CDB，因此三角形ADB ≌ 三角形CDB（AAS），从而得到AD = DB。
模型三：角平分线构造轴对称
模型描述：利用角平分线构造轴对称图形。
性质：角平分线是轴对称图形的对称轴。
应用：在证明与轴对称相关的几何问题时，可以利用此模型。
实例：在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，求证：点D关于AD的对称点D’在BC上。
证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD，又AD是三角形ABC的中线，所以BD = CD，因此点D关于AD的对称点D’在BC上。
模型四：角平分线加平行线等腰现
模型描述：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形。
性质：通过构造等腰三角形，可以证明角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
应用：在证明与等腰三角形、角平分线相关的几何问题时，可以利用此模型。
实例：在三角形ABC中，AB = AC，BE平分∠ABC，求证：BD = CD。
证明：作DE // BC交AB于E，因为AB = AC，所以∠ABE = ∠ACE，又BE平分∠ABC，所以∠ABE = ∠CBE，因此三角形ABE ≌ 三角形ACE（AAS），从而得到BD = CD。
模型五：利用角平分线作对称
模型描述：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形。
性质：通过构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
应用：在证明与对称性、全等三角形相关的几何问题时，可以利用此模型。
实例：在三角形ABC中，AB = AC，AD是角BAC的平分线，求证：三角形ABD ≌ 三角形ACD。
证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD，又AB = AC，所以三角形ABD ≌ 三角形ACD（SAS）。
模型六：内外角模型
模型描述：角平分线与内外角的关系。
性质：角平分线将角分为两个相等的角，且这两个角与内外角之间存在一定的关系。
应用：在证明与内外角、角平分线相关的几何问题时，可以利用此模型。
实例：在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，求证：∠BAD = ∠CAD。
证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
模型七：角平分线模型与圆
模型描述：角平分线与圆的关系。
性质：角平分线上的点到圆心的距离相等。
应用：在证明与圆、角平分线相关的几何问题时，可以利用此模型。
实例：在圆O中，AB是直径，AD是角AOB的平分线，求证：OD = OA。
证明：因为AB是直径，所以∠AOB = 90°，又AD平分∠AOB，所以∠AOD = ∠BOD，因此OD = OA。
模型八：角平分线模型与切线
模型描述：角平分线与切线的关系。
性质：角平分线上的点到切线的距离相等。
应用：在证明与切线、角平分线相关的几何问题时，可以利用此模型。
实例：在圆O中，AB是直径，AD是角AOB的平分线，求证：OD ⊥ AB。
证明：因为AB是直径，所以∠AOB = 90°，又AD平分∠AOB，所以∠AOD = ∠BOD，因此OD ⊥ AB。
通过以上八大角平分线模型的介绍，我们可以看到角平分线在几何学中的重要作用。这些模型不仅可以帮助我们解决各种几何问题，还可以让我们领略到几何之美。