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揭秘波动博奕：四大核心模型深度解析

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波动博奕，又称为随机博奕或不确定性博奕，是指在游戏中存在不确定性和随机性的博奕问题。这类博奕模型在经济学、金融学、计算机科学等领域有着广泛的应用。本文将深入解析波动博奕中的四大核心模型：巴什博奕、尼姆博奕、斐波那契博奕和威佐夫博奕。

一、巴什博奕（Bash Game）

定义

巴什博奕是一种经典的博弈模型，由两堆物品和两位玩家组成。玩家轮流从其中一堆中取出1至m个物品，最后取光者获胜。

胜利法则

  • 若 ( n \% m \neq 0 )，则先手必胜。
  • 若 ( n \% m = 0 )，则后手必胜。

解题策略

  1. 若先手可以保持给对手留下 ( (m+1) ) 的倍数，则先手必胜。
  2. 若先手无法保持上述倍数，则后手必胜。

示例代码

#include <iostream>
using namespace std;

bool bashGame(int n, int m) {
    return n % m != 0;
}

int main() {
    int n, m;
    cout << "请输入物品数量n和每次最多取物数量m：" << endl;
    cin >> n >> m;
    if (bashGame(n, m)) {
        cout << "先手必胜" << endl;
    } else {
        cout << "后手必胜" << endl;
    }
    return 0;
}

二、尼姆博奕（Nim Game）

定义

尼姆博奕是一种基于多个堆的博奕模型。每位玩家轮流从某堆中取出至少1个物品，最后取完所有物品的玩家获胜。

胜利法则

  • 将每堆物品的数量进行异或运算，若结果为0，则先手必败；否则，先手必胜。

解题策略

  1. 先手将所有堆的物品数量进行异或运算。
  2. 若结果为0，则先手败；否则，先手胜。

示例代码

#include <iostream>
using namespace std;

int nimGame(int piles[], int size) {
    int xor_sum = 0;
    for (int i = 0; i < size; ++i) {
        xor_sum ^= piles[i];
    }
    return xor_sum == 0 ? 0 : 1;
}

int main() {
    int piles[] = {1, 2, 3};
    int size = sizeof(piles) / sizeof(piles[0]);
    if (nimGame(piles, size)) {
        cout << "先手必胜" << endl;
    } else {
        cout << "后手必胜" << endl;
    }
    return 0;
}

三、斐波那契博奕（Fibonacci Game）

定义

斐波那契博奕是一种基于物品数量的博奕模型。每位玩家轮流取物，先手可取任意件，但不能不取，也不能把物品取完。之后每次取的物品不能超过上一次的两倍，且至少为1件，取走最后一件物品的人获胜。

胜利法则

  • 当且仅当物品数量不是斐波那契数时，先手胜。

解题策略

  1. 判断物品数量是否为斐波那契数。
  2. 若是，先手胜；否则，后手胜。

示例代码

#include <iostream>
using namespace std;

bool isFibonacci(int n) {
    int a = 0, b = 1, c = a + b;
    if (n == a || n == b) return true;
    while (c <= n) {
        if (c == n) return true;
        a = b;
        b = c;
        c = a + b;
    }
    return false;
}

int main() {
    int n;
    cout << "请输入物品数量n：" << endl;
    cin >> n;
    if (isFibonacci(n)) {
        cout << "先手必胜" << endl;
    } else {
        cout << "后手必胜" << endl;
    }
    return 0;
}

四、威佐夫博奕（Wythoff Game）

定义

威佐夫博奕是一种基于两堆物品的博奕模型。每位玩家轮流从其中一堆中取出任意个物品，也可以从两堆中取出相同数量的物品，每次至少取一个，最后取完所有物品的人获胜。

胜利法则

  • 若 ( \frac{a}{b} ) 等于黄金分割数 ( \phi ) 或其倒数，则后手获胜；否则，先手获胜。

解题策略

  1. 判断 ( \frac{a}{b} ) 是否等于 ( \phi ) 或其倒数。
  2. 若等于，后手获胜；否则，先手获胜。

示例代码

#include <iostream>
using namespace std;

double gold_ratio = (1 + sqrt(5)) / 2;

bool wythoffGame(int a, int b) {
    return abs((double)a / b - gold_ratio) < 1e-6 || abs((double)b / a - gold_ratio) < 1e-6;
}

int main() {
    int a, b;
    cout << "请输入两堆物品的数量a和b：" << endl;
    cin >> a >> b;
    if (wythoffGame(a, b)) {
        cout << "后手必胜" << endl;
    } else {
        cout << "先手必胜" << endl;
    }
    return 0;
}

总结 本文深入解析了波动博奕中的四大核心模型：巴什博奕、尼姆博奕、斐波那契博奕和威佐夫博奕。通过了解这些模型的基本原理和解题策略，我们可以更好地理解和应用波动博奕在各个领域的实际问题。

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