揭秘递推数列：掌握十大求通项模型，轻松解决数学难题

递推数列是高中数学中的一个重要概念，它描述了数列中任意一项与其前一项之间的关系。求解递推数列的通项公式是解决数列问题的关键，也是高中数学学习的一个重要环节。本文将详细介绍递推数列的十大求通项模型，帮助读者轻松解决数学难题。

模型一：( a_{n+1} = Aa_n + B )

解法：

1. 设 ( b_n = an - \frac{B}{A-1} )，则 ( b{n+1} = Ab_n )。
2. ( b_1 = a_1 - \frac{B}{A-1} )。
3. ( b_n = A^{n-1}b_1 )。
4. ( a_n = A^{n-1}b_1 + \frac{B}{A-1} )。

模型二：( a_{n+1} = Aa_n + Bn )

解法：

1. 设 ( b_n = an - \frac{B}{A-1} )，则 ( b{n+1} = Ab_n + B )。
2. ( b_1 = a_1 - \frac{B}{A-1} )。
3. ( b_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} )。
4. ( a_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + \frac{B}{A-1} )。

模型三：( a_{n+1} = \frac{Aa_n + B}{C} )

解法：

1. 设 ( b_n = \frac{an}{C} )，则 ( b{n+1} = Ab_n + \frac{B}{C} )。
2. ( b_1 = \frac{a_1}{C} )。
3. ( b_n = A^{n-1}b_1 + \frac{B}{C}\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} )。
4. ( a_n = C(A^{n-1}b_1 + \frac{B}{C}\frac{A^{n-2} - 1}{A-1}) )。

模型四：( a_{n+1} = Aa_n + B \cdot C^n )

解法：

1. 设 ( b_n = an - \frac{B}{A-1} )，则 ( b{n+1} = Ab_n + B \cdot C^n )。
2. ( b_1 = a_1 - \frac{B}{A-1} )。
3. ( b_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + BC(A^{n-2} - 1) )。
4. ( a_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + BC(A^{n-2} - 1) + \frac{B}{A-1} )。

模型五：( a_{n+1} = Aa_n + B \cdot C^{n-1} )

解法：

1. 设 ( b_n = an - \frac{B}{A-1} )，则 ( b{n+1} = Ab_n + B \cdot C^{n-1} )。
2. ( b_1 = a_1 - \frac{B}{A-1} )。
3. ( b_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + BC^{n-1}(A^{n-2} - 1) )。
4. ( a_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + BC^{n-1}(A^{n-2} - 1) + \frac{B}{A-1} )。

模型六：( a_{n+1} = Aa_n + B \cdot C^n + D )

解法：

1. 设 ( b_n = an - \frac{B}{A-1} - \frac{D}{A-1} )，则 ( b{n+1} = Ab_n + B \cdot C^n )。
2. ( b_1 = a_1 - \frac{B}{A-1} - \frac{D}{A-1} )。
3. ( b_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + BC^n(A^{n-2} - 1) )。
4. ( a_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + BC^n(A^{n-2} - 1) + \frac{B}{A-1} + \frac{D}{A-1} )。

模型七：( a_{n+1} = Aa_n + B \cdot C^{n-1} + D )

解法：

1. 设 ( b_n = an - \frac{B}{A-1} - \frac{D}{A-1} )，则 ( b{n+1} = Ab_n + B \cdot C^{n-1} )。
2. ( b_1 = a_1 - \frac{B}{A-1} - \frac{D}{A-1} )。
3. ( b_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + BC^{n-1}(A^{n-2} - 1) )。
4. ( a_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + BC^{n-1}(A^{n-2} - 1) + \frac{B}{A-1} + \frac{D}{A-1} )。

模型八：( a_{n+1} = Aa_n + B \cdot n + C )

解法：

1. 设 ( b_n = an - \frac{B}{A-1} - \frac{C}{A-1} )，则 ( b{n+1} = Ab_n + B \cdot n )。
2. ( b_1 = a_1 - \frac{B}{A-1} - \frac{C}{A-1} )。
3. ( b_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + B\frac{n(A^{n-2} - 1)}{2} )。
4. ( a_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + B\frac{n(A^{n-2} - 1)}{2} + \frac{B}{A-1} + \frac{C}{A-1} )。

模型九：( a_{n+1} = Aa_n + B \cdot n^2 + C )

解法：

1. 设 ( b_n = an - \frac{B}{A-1} - \frac{C}{A-1} )，则 ( b{n+1} = Ab_n + B \cdot n^2 )。
2. ( b_1 = a_1 - \frac{B}{A-1} - \frac{C}{A-1} )。
3. ( b_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + B\frac{n^2(A^{n-2} - 1)}{3} )。
4. ( a_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + B\frac{n^2(A^{n-2} - 1)}{3} + \frac{B}{A-1} + \frac{C}{A-1} )。

模型十：( a_{n+1} = Aa_n + B \cdot n! + C )

解法：

1. 设 ( b_n = an - \frac{B}{A-1} - \frac{C}{A-1} )，则 ( b{n+1} = Ab_n + B \cdot n! )。
2. ( b_1 = a_1 - \frac{B}{A-1} - \frac{C}{A-1} )。
3. ( b_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + B\frac{n!}{(A-1)A^{n-2}} )。
4. ( a_n = A^{n-1}b_1 + B\frac{A^{n-2} - 1}{A-1} + B\frac{n!}{(A-1)A^{n-2}} + \frac{B}{A-1} + \frac{C}{A-1} )。

通过以上十大模型，读者可以轻松解决各种递推数列求通项公式的问题。在实际解题过程中，可以根据具体题目选择合适的模型，并灵活运用，从而提高解题效率。