模型一：欧姆定律
问题
证明欧姆定律：在一个电路中，电流（I）与电压（V）成正比，与电阻（R）成反比。
解答
欧姆定律的公式为：( I = \frac{V}{R} )
证明如下：
- 根据基尔霍夫电压定律，电路中任意闭合回路中的电压之和等于零。
- 假设电路中有两个电阻 ( R_1 ) 和 ( R_2 )，电压分别为 ( V_1 ) 和 ( V_2 )。
- 根据基尔霍夫电压定律，( V_1 + V_2 = 0 )。
- 如果 ( R_1 ) 和 ( R_2 ) 的电流分别为 ( I_1 ) 和 ( I_2 )，则 ( V_1 = I_1 \cdot R_1 ) 和 ( V_2 = I_2 \cdot R_2 )。
- 将 ( V_1 ) 和 ( V_2 ) 代入基尔霍夫电压定律，得到 ( I_1 \cdot R_1 + I_2 \cdot R_2 = 0 )。
- 由此得出 ( I_1 = \frac{-I_2 \cdot R_2}{R_1} )，即 ( I_1 ) 与 ( I_2 ) 成反比。
- 因此，电流 ( I ) 与电压 ( V ) 成正比，与电阻 ( R ) 成反比。
模型二：电容器的充电和放电
问题
一个电容器充电到5伏特，然后断开电源。如果电容器的电容为100微法拉，求电容器放电到2.5伏特所需的时间。
解答
电容器放电的公式为：( V(t) = V_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}} )
其中，( V(t) ) 是放电后的电压，( V_0 ) 是初始电压，( t ) 是时间，( R ) 是电阻，( C ) 是电容。
- ( V_0 = 5 ) 伏特，( V(t) = 2.5 ) 伏特，( C = 100 ) 微法拉。
- 代入公式得 ( 2.5 = 5 \cdot e^{-\frac{t}{100 \times 10^{-6}}} )。
- 解得 ( e^{-\frac{t}{10^{-3}}} = 0.5 )。
- 取对数得 ( -\frac{t}{10^{-3}} = \ln(0.5) )。
- 解得 ( t = -10^{-3} \cdot \ln(0.5) \approx 1.38 \times 10^{-3} ) 秒。
模型三：电感器的感应电动势
问题
一个电感器通以电流 ( I(t) = 5t ) 安培，求电感器两端的感应电动势。
解答
电感器的感应电动势公式为：( \mathcal{E} = -L \cdot \frac{dI}{dt} )
其中，( \mathcal{E} ) 是感应电动势，( L ) 是电感，( I ) 是电流，( t ) 是时间。
- ( I(t) = 5t )，求导得 ( \frac{dI}{dt} = 5 ) 安培/秒。
- 假设电感 ( L = 2 ) 亨利。
- 代入公式得 ( \mathcal{E} = -2 \cdot 5 = -10 ) 伏特。
模型四：交流电的有效值
问题
一个交流电的波形为 ( V(t) = 10 \sin(2\pi \cdot 50t) ) 伏特，求该交流电的有效值。
解答
交流电的有效值公式为：( V{rms} = \frac{V{max}}{\sqrt{2}} )
其中，( V{rms} ) 是有效值，( V{max} ) 是最大值。
- ( V(t) = 10 \sin(2\pi \cdot 50t) )，最大值 ( V_{max} = 10 ) 伏特。
- 代入公式得 ( V_{rms} = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7.07 ) 伏特。
模型五：基尔霍夫电流定律
问题
在一个节点上，三个电流 ( I_1 )、( I_2 ) 和 ( I_3 ) 相遇，已知 ( I_1 = 2 ) 安培，( I_2 = 3 ) 安培，求 ( I_3 )。
解答
基尔霍夫电流定律指出，在电路中任意节点，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。
- ( I_1 + I_2 + I_3 = 0 )。
- 代入已知值得 ( 2 + 3 + I_3 = 0 )。
- 解得 ( I_3 = -5 ) 安培。
模型六：基尔霍夫电压定律
问题
在一个闭合回路中，已知电压 ( V_1 = 12 ) 伏特，( V_2 = -6 ) 伏特，( V_3 = 9 ) 伏特，求回路中的总电压。
解答
基尔霍夫电压定律指出，在电路中任意闭合回路，回路中的电压之和等于零。
- ( V_1 + V_2 + V_3 = 0 )。
- 代入已知值得 ( 12 - 6 + 9 = 15 ) 伏特。
模型七：电阻的串联和并联
问题
两个电阻 ( R_1 = 10 ) 欧姆和 ( R_2 = 20 ) 欧姆串联和并联，求电路的总电阻。
解答
串联电路的总电阻 ( R_{total} = R_1 + R_2 )。
并联电路的总电阻 ( \frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} )。
- 串联电路 ( R_{total} = 10 + 20 = 30 ) 欧姆。
- 并联电路 ( \frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} = \frac{1}{5} )。
- 解得 ( R_{total} = 5 ) 欧姆。
模型八：电功率和能量
问题
一个电阻为 ( 10 ) 欧姆的电路通过 ( 5 ) 安培的电流，求电路消耗的电功率和能量。
解答
电功率公式为：( P = I^2 \cdot R )
能量公式为：( E = P \cdot t )
其中，( P ) 是功率，( I ) 是电流，( R ) 是电阻，( E ) 是能量，( t ) 是时间。
- ( I = 5 ) 安培，( R = 10 ) 欧姆。
- 代入公式得 ( P = 5^2 \cdot 10 = 250 ) 瓦特。
- 假设时间 ( t = 1 ) 秒。
- 代入公式得 ( E = 250 \cdot 1 = 250 ) 焦耳。
模型九：电路中的电流分配
问题
一个电路中有两个电阻 ( R_1 = 4 ) 欧姆和 ( R_2 = 6 ) 欧姆并联，通过 ( 10 ) 伏特的电压，求通过每个电阻的电流。
解答
并联电路中，电压相等，电流与电阻成反比。
- 电流 ( I_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{10}{4} = 2.5 ) 安培。
- 电流 ( I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{10}{6} \approx 1.67 ) 安培。
模型十：电路中的电压分配
问题
一个电路中有两个电阻 ( R_1 = 4 ) 欧姆和 ( R_2 = 6 ) 欧姆串联，通过 ( 10 ) 伏特的电压，求每个电阻上的电压。
解答
串联电路中，电流相等，电压与电阻成正比。
- 电压 ( V_1 = I \cdot R_1 )，电压 ( V_2 = I \cdot R_2 )。
- 总电阻 ( R_{total} = R_1 + R_2 = 4 + 6 = 10 ) 欧姆。
- 电流 ( I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{10}{10} = 1 ) 安培。
- 电压 ( V_1 = 1 \cdot 4 = 4 ) 伏特。
- 电压 ( V_2 = 1 \cdot 6 = 6 ) 伏特。