模型一：标准抛物线
二次函数的标准形式为 ( y = ax^2 + bx + c )，其中 ( a \neq 0 )。这个函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。当 ( a > 0 ) 时，抛物线开口向上；当 ( a < 0 ) 时，抛物线开口向下。
图解解析
- 抛物线的顶点坐标为 ( (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}) )。
- 对称轴为直线 ( x = -\frac{b}{2a} )。
- 当 ( a > 0 ) 时，抛物线在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。
- 当 ( a < 0 ) 时，抛物线在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。
模型二：顶点式抛物线
顶点式抛物线的形式为 ( y = a(x - h)^2 + k )，其中 ( a \neq 0 )，( h ) 和 ( k ) 是常数。
图解解析
- 抛物线的顶点坐标为 ( (h, k) )。
- 对称轴为直线 ( x = h )。
- 抛物线的开口方向与 ( a ) 的符号相同。
- 抛物线的形状由 ( |a| ) 的大小决定。
模型三：抛物线与x轴的交点
二次函数与x轴的交点可以通过解方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 来找到。
图解解析
- 当 ( \Delta = b^2 - 4ac > 0 ) 时，抛物线与x轴有两个不同的交点。
- 当 ( \Delta = 0 ) 时，抛物线与x轴有一个交点（即抛物线切x轴）。
- 当 ( \Delta < 0 ) 时，抛物线与x轴没有交点。
模型四：抛物线与y轴的交点
二次函数与y轴的交点可以通过将 ( x = 0 ) 代入函数表达式来找到。
图解解析
- 抛物线与y轴的交点坐标为 ( (0, c) )。
模型五：抛物线与直线的交点
二次函数与直线的交点可以通过解方程组 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 和 ( y = mx + n ) 来找到。
图解解析
- 交点的坐标可以通过解方程组得到。
- 如果 ( \Delta = b^2 - 4ac ) 和 ( m^2 + 1 ) 的符号相同，则交点是实数。
模型六：抛物线与圆的交点
二次函数与圆的交点可以通过解方程组 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 和 ( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ) 来找到。
图解解析
- 交点的坐标可以通过解方程组得到。
- 交点的个数取决于方程组的解的个数。
模型七：抛物线与三角形的交点
二次函数与三角形的交点可以通过解方程组 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 和三角形的边界方程来找到。
图解解析
- 交点的坐标可以通过解方程组得到。
- 交点的个数取决于方程组的解的个数。
模型八：抛物线与平行四边形的交点
二次函数与平行四边形的交点可以通过解方程组 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 和平行四边形的边界方程来找到。
图解解析
- 交点的坐标可以通过解方程组得到。
- 交点的个数取决于方程组的解的个数。
模型九：抛物线与梯形的交点
二次函数与梯形的交点可以通过解方程组 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 和梯形的边界方程来找到。
图解解析
- 交点的坐标可以通过解方程组得到。
- 交点的个数取决于方程组的解的个数。
模型十：抛物线与正方形的交点
二次函数与正方形的交点可以通过解方程组 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 和正方形的边界方程来找到。
图解解析
- 交点的坐标可以通过解方程组得到。
- 交点的个数取决于方程组的解的个数。