在初中几何证明中，角平分线是一个重要的概念。它不仅可以帮助我们解决各种几何问题，还可以让我们更好地理解三角形的性质。本文将详细介绍7大角平分线模型及其应用，帮助读者更好地掌握这一几何知识。
模型一：角平分线上的点向两边作垂线
模型解读与图示：
- 条件：如图1，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。
- 结论：PB=PA。
分析：
利用全等知识可证明此模型。做题时可以利用这个模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例子：
如图2，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。 求证：∠BAD=∠BCD。
证明：
作DE⊥BC于E，作DF⊥AB延长线于F，∠DEF=90°，因为BD平分∠ABC， DF=DE（利用模型一），又AD=DC， DFA=DEC（斜边直角边）， BC=CD=AF，∠BAD=∠BCD。
模型二：截取构造对称全等
模型解读与图示：
- 条件：如图3，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。
- 结论：OP=PB。
分析：
利用全等知识可证明此模型，这是经常使用的一种解题技巧。
例子：
已知，在∆ABC中，B²=C，AD是∠BAC的平分线，AB=16，BD=8。求线段AC的长？
解：
作DE=AB，连接PE，∠BPE=∠BAC（AD是∠BAC的平分线），∠DEP=∠B（三角形外角定理），∆BPE≌∆ABC（SAS），PE=AB=16，∆PEB≌∆BAC（SAS），BE=AC=8。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
模型解读与图示：
- 条件：如图4，P是∠MO的平分线上一点，APOP于P点，延长AP于点B。
- 结论：∆AOB是等腰三角形。
分析：
这个模型巧妙地把角平分线和等腰三角形、三线合一联系了起来。
例子：
如图5，在∆ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE于D。 求证：∠BAD=∠CAD。
证明：
作DF⊥AB于F，∠BDF=∠BAC（AD是∠BAC的平分线），∠FDB=∠FBD（三角形外角定理），∆BDF≌∆BAC（SAS），DF=AC，∆ADF≌∆ADF（SAS），∠BAD=∠CAD。
模型四：角平分线平行线
模型解读与图示：
- 条件：如图6，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ⊥ON，交OM于点Q。
- 结论：∆POQ是等腰三角形。
分析：
这种构造技巧也经常使用，构造后出现等腰三角形，为证明结论创造了更多的条件。
例子：
如图7，在∆ABC中，∠ABC=∠ACB，AD是∠BAC的平分线，求证：∆ABD≌∆ACD。
证明：
作DE⊥AC于E，∠BDE=∠ACB（AD是∠BAC的平分线），∠EDC=∠B（三角形外角定理），∆BDE≌∆ACD（SAS），BD=CD，∆ABD≌∆ACD（SAS）。
模型五：角平分线上的点到角的两边距离相等
模型解读与图示：
- 条件：如图8，P是∠MON的平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON。
- 结论：PA=PB。
分析：
利用角平分线的性质可证明此模型。
例子：
如图9，在∆ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，求证：∆ABD≌∆ACD。
证明：
作DE⊥AC于E，∠BDE=∠ACB（AD是∠BAC的平分线），∠EDC=∠B（三角形外角定理），∆BDE≌∆ACD（SAS），BD=CD，∆ABD≌∆ACD（SAS）。
模型六：角平分线上的点到角的两边距离相等
模型解读与图示：
- 条件：如图10，P是∠MON的平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON。
- 结论：PA=PB。
分析：
利用角平分线的性质可证明此模型。
例子：
如图11，在∆ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，求证：∆ABD≌∆ACD。
证明：
作DE⊥AC于E，∠BDE=∠ACB（AD是∠BAC的平分线），∠EDC=∠B（三角形外角定理），∆BDE≌∆ACD（SAS），BD=CD，∆ABD≌∆ACD（SAS）。
模型七：角平分线上的点到角的两边距离相等
模型解读与图示：
- 条件：如图12，P是∠MON的平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON。
- 结论：PA=PB。
分析：
利用角平分线的性质可证明此模型。
例子：
如图13，在∆ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，求证：∆ABD≌∆ACD。
证明：
作DE⊥AC于E，∠BDE=∠ACB（AD是∠BAC的平分线），∠EDC=∠B（三角形外角定理），∆BDE≌∆ACD（SAS），BD=CD，∆ABD≌∆ACD（SAS）。
通过以上7大角平分线模型的解析与应用，相信读者对角平分线的理解会更加深入。在解决几何问题时，这些模型将成为我们有力的工具。