引言
角平分线在几何学中扮演着重要的角色，它不仅能够帮助我们解决许多几何问题，还能在证明过程中提供有力的辅助。本文将详细介绍七大角平分线模型，并探讨它们在解决几何难题中的应用。
模型一：角平分线垂两边
模型描述：在角的平分线上任取一点，向角的两边作垂线，垂足分别为A和B。
应用：利用角平分线性质，即角平分线上的点到角的两边距离相等，可以构造全等三角形，从而证明线段相等或角度相等。
示例： 已知∠ABC=90°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，AF⊥BC于F。 证明：AB=AC。
证明过程：
- ∠BAD=∠CAD（AD是∠BAC的平分线）
- ∠BAE=∠CAF=90°（垂直定义）
- ∠ABE=∠AFE（对顶角）
- ΔABE≌ΔAFE（AAS）
- AB=AF（全等三角形对应边相等）
模型二：角平分线垂中间
模型描述：在角的平分线上任取一点，向角的两边作垂线，垂足分别为A和B。
应用：利用角平分线性质和垂线性质，可以构造等腰三角形，从而证明线段相等或角度相等。
示例： 已知∠ABC=90°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，AF⊥BC于F。 证明：BE=CF。
证明过程：
- ∠BAD=∠CAD（AD是∠BAC的平分线）
- ∠BAE=∠CAF=90°（垂直定义）
- ∠ABE=∠AFE（对顶角）
- ΔABE≌ΔAFE（AAS）
- BE=CF（全等三角形对应边相等）
模型三：角平分线平行线
模型描述：在角的平分线上任取一点，作角的一边的平行线。
应用：利用平行线性质和角平分线性质，可以构造等腰三角形，从而证明线段相等或角度相等。
示例： 已知∠ABC=90°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，AF⊥BC于F。 证明：AB=AF。
证明过程：
- ∠BAD=∠CAD（AD是∠BAC的平分线）
- ∠BAE=∠CAF=90°（垂直定义）
- ∠ABE=∠AFE（对顶角）
- ΔABE≌ΔAFE（AAS）
- AB=AF（全等三角形对应边相等）
模型四：利用角平分线作对称
模型描述：利用角平分线的对称性，构造对称全等三角形。
应用：利用对称性，可以将线段或角度进行转移，从而解决几何问题。
示例： 已知∠ABC=90°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，AF⊥BC于F。 证明：BE=CF。
证明过程：
- ∠BAD=∠CAD（AD是∠BAC的平分线）
- ∠BAE=∠CAF=90°（垂直定义）
- ∠ABE=∠AFE（对顶角）
- ΔABE≌ΔAFE（AAS）
- BE=CF（全等三角形对应边相等）
模型五：内外角模型
模型描述：在角的内部或外部，利用角平分线构造内外角。
应用：利用内外角性质，可以证明线段相等或角度相等。
示例： 已知∠ABC=90°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，AF⊥BC于F。 证明：∠ABD=∠ACD。
证明过程：
- ∠BAD=∠CAD（AD是∠BAC的平分线）
- ∠ABE=∠AFE（对顶角）
- ∠ABD=∠CAD（内外角定理）
- ∠ACD=∠CAD（∠ACD是∠CAD的外角）
模型六：角平分线比例定理
模型描述：在三角形中，角平分线将对边分成与两边成比例的两段。
应用：利用角平分线比例定理，可以求解线段长度或比例关系。
示例： 已知∠ABC=90°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，AF⊥BC于F。 证明：AB/BD=AC/CD。
证明过程：
- ∠BAD=∠CAD（AD是∠BAC的平分线）
- ∠ABE=∠AFE（对顶角）
- AB/BD=AC/CD（角平分线比例定理）
模型七：角平分线与圆
模型描述：在圆中，角平分线将圆分成两个相等的弧。
应用：利用角平分线与圆的性质，可以求解线段长度、角度或圆的面积。
示例： 已知∠ABC=90°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，AF⊥BC于F。 证明：AB=AC。
证明过程：
- ∠BAD=∠CAD（AD是∠BAC的平分线）
- ∠ABE=∠AFE（对顶角）
- ΔABE≌ΔAFE（AAS）
- AB=AF（全等三角形对应边相等）
- AC=AF（圆的性质）
总结
角平分线模型在解决几何难题中具有重要作用。通过掌握这些模型，我们可以更好地理解几何问题，并运用它们解决实际问题。