模型一：角平分线垂两边
概述
角平分线垂两边模型，也称为角平分线外垂直模型，是指在三角形中，角平分线上的点到角的两边作垂线，这两条垂线段相等。
条件
- ( \triangle ABC ) 中，( AD ) 是 ( \angle BAC ) 的角平分线。
- ( D ) 是 ( BC ) 上的点，( E ) 是 ( AB ) 上的点。
结论
- ( AD ) 垂直于 ( BC ) 和 ( AB )。
- ( DE = EC )。
证明
- 构造垂线：在 ( D ) 点作 ( DE \perp BC ) 于 ( E )，在 ( E ) 点作 ( EF \perp AB ) 于 ( F )。
- 证明全等：由 ( \triangle AED ) 和 ( \triangle CED ) 有 ( \angle AED = \angle CED )，( AD = AD )，( DE = DE )（公共边），根据SAS全等条件，可得 ( \triangle AED \cong \triangle CED )。
- 得出结论：由全等三角形对应边相等，得 ( DE = EC )。
应用
该模型常用于证明三角形中角平分线上的点到角的两边距离相等，以及解决与角平分线相关的几何问题。
模型二：角平分线垂中间
概述
角平分线垂中间模型，也称为角平分线内垂直模型，是指在三角形中，角平分线上的点到角的两边作垂线，这两条垂线段分别垂直于角的两边。
条件
- ( \triangle ABC ) 中，( AD ) 是 ( \angle BAC ) 的角平分线。
- ( D ) 是 ( BC ) 上的点，( E ) 是 ( AC ) 上的点。
结论
- ( AD ) 垂直于 ( BC ) 和 ( AC )。
- ( DE \perp BC ) 和 ( DE \perp AC )。
证明
- 构造垂线：在 ( D ) 点作 ( DE \perp BC ) 于 ( E )，在 ( E ) 点作 ( EF \perp AC ) 于 ( F )。
- 证明全等：由 ( \triangle AED ) 和 ( \triangle CED ) 有 ( \angle AED = \angle CED )，( AD = AD )，( DE = DE )（公共边），根据SAS全等条件，可得 ( \triangle AED \cong \triangle CED )。
- 得出结论：由全等三角形对应边相等，得 ( DE = EC )。
应用
该模型常用于证明三角形中角平分线上的点到角的两边距离相等，以及解决与角平分线相关的几何问题。
模型三：角平分线构造轴对称
概述
角平分线构造轴对称模型，也称为角平分线截线段相等模型，是指在三角形中，角平分线上的点到角的两边作垂线，这两条垂线段分别垂直于角的两边，并且相等。
条件
- ( \triangle ABC ) 中，( AD ) 是 ( \angle BAC ) 的角平分线。
- ( D ) 是 ( BC ) 上的点，( E ) 是 ( AC ) 上的点。
结论
- ( AD ) 垂直于 ( BC ) 和 ( AC )。
- ( DE = EC )。
证明
- 构造垂线：在 ( D ) 点作 ( DE \perp BC ) 于 ( E )，在 ( E ) 点作 ( EF \perp AC ) 于 ( F )。
- 证明全等：由 ( \triangle AED ) 和 ( \triangle CED ) 有 ( \angle AED = \angle CED )，( AD = AD )，( DE = DE )（公共边），根据SAS全等条件，可得 ( \triangle AED \cong \triangle CED )。
- 得出结论：由全等三角形对应边相等，得 ( DE = EC )。
应用
该模型常用于证明三角形中角平分线上的点到角的两边距离相等，以及解决与角平分线相关的几何问题。
通过以上三大模型，我们可以更深入地理解角平分线的性质，并巧妙地解决与角平分线相关的几何难题。