在几何学中，角平分线是一个重要的概念，它将一个角平分为两个相等的角。掌握角平分线的性质和模型对于解决各种几何问题至关重要。本文将详细介绍角平分线的四大经典模型，并通过图解和实例分析，帮助读者更好地理解和应用这些模型。
模型一：角平分线垂两边
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如图所示，点P是角AOB的平分线上一点，过点P分别作PA垂直于OB于点A，PB垂直于OA于点B。
性质
- PA = PB（角平分线上的点到角的两边距离相等）
- ∠OAP = ∠OBP（角平分线将角平分）
实战技巧
- 利用角平分线性质构造等腰三角形。
- 通过垂直线段找到解题的突破口。
例题
已知：在△ABC中，∠ABC = 90°，AD平分∠BAC，BC = 6cm，BD = 4cm。求点D到直线AB的距离。
解答： 过点D作DE垂直于AB于点E，由于AD平分∠BAC，所以∠DAE = ∠DBE。 在直角三角形ABD和直角三角形BDE中，∠ADB = ∠BDE（都是直角），AD = DE（角平分线性质）。 因此，△ABD ≌ △BDE（HL定理）。 所以，BD = DE = 4cm，点D到直线AB的距离是4cm。
模型二：角平分线垂中间
图解
如图所示，点P是角AOB的平分线上一点，过点P分别作PA垂直于BO于点A，PB垂直于OA于点B。
性质
- PA = PB（角平分线上的点到角的两边距离相等）
- ∠OAP = ∠OBP（角平分线将角平分）
实战技巧
- 利用角平分线性质构造等腰三角形。
- 通过垂直线段找到解题的突破口。
例题
已知：在△ABC中，∠ABC = 90°，AD平分∠BAC，BC = 6cm，BD = 4cm。求点D到直线AB的距离。
解答： 过点D作DE垂直于AB于点E，由于AD平分∠BAC，所以∠DAE = ∠DBE。 在直角三角形ABD和直角三角形BDE中，∠ADB = ∠BDE（都是直角），AD = DE（角平分线性质）。 因此，△ABD ≌ △BDE（HL定理）。 所以，BD = DE = 4cm，点D到直线AB的距离是4cm。
模型三：角平分线构造轴对称
图解
如图所示，点P是角AOB的平分线上一点，过点P分别作PA垂直于OB于点A，PB垂直于OA于点B。
性质
- PA = PB（角平分线上的点到角的两边距离相等）
- ∠OAP = ∠OBP（角平分线将角平分）
实战技巧
- 利用角平分线性质构造轴对称图形。
- 通过对称性找到解题的突破口。
例题
已知：在△ABC中，∠ABC = 90°，AD平分∠BAC，BC = 6cm，BD = 4cm。求点D到直线AB的距离。
解答： 过点D作DE垂直于AB于点E，由于AD平分∠BAC，所以∠DAE = ∠DBE。 在直角三角形ABD和直角三角形BDE中，∠ADB = ∠BDE（都是直角），AD = DE（角平分线性质）。 因此，△ABD ≌ △BDE（HL定理）。 所以，BD = DE = 4cm，点D到直线AB的距离是4cm。
模型四：角平分线加平行线等腰现
图解
如图所示，点P是角AOB的平分线上一点，过点P作PC平行于AB于点C。
性质
- ∠APC = ∠BPC（角平分线将角平分）
- ∠APB = ∠CPB（平行线性质）
实战技巧
- 利用角平分线和平行线构造等腰三角形。
- 通过等腰三角形的性质找到解题的突破口。
例题
已知：在△ABC中，∠ABC = 90°，AD平分∠BAC，BC = 6cm，BD = 4cm。求点D到直线AB的距离。
解答： 过点D作DE垂直于AB于点E，由于AD平分∠BAC，所以∠DAE = ∠DBE。 在直角三角形ABD和直角三角形BDE中，∠ADB = ∠BDE（都是直角），AD = DE（角平分线性质）。 因此，△ABD ≌ △BDE（HL定理）。 所以，BD = DE = 4cm，点D到直线AB的距离是4cm。
通过以上四大经典模型的解析和实战技巧，相信读者已经对角平分线有了更深入的了解。在解决几何问题时，灵活运用这些模型，将有助于找到解题的突破口。