模型一：角平分线上的点向两边作垂线
模型分析
在几何问题中，角平分线上的点到角的两边距离相等是一个重要的性质。利用这一性质，可以构造出边相等、角相等、三角形全等的条件，从而快速找到解题的突破口。
模型实例
- 实例一：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm。求点D到直线AB的距离。
解答：过点D作DE垂直于AB于点E，由于AD平分∠CAB，则CD=DE。因为BC=6cm，BD=4cm，所以CD=BC-BD=6cm-4cm=2cm。因此，点D到直线AB的距离是2cm。
- 实例二：在三角形ABC中，∠BAC=120°，求证：AP平分∠BAC。
证明：过点P作PD垂直于AB于点D，PE垂直于AC于点E。由于∠BAC=120°，所以∠BAD=∠CAD=60°。又因为PD=PE（角平分线上的点到角的两边距离相等），所以三角形APD和三角形APE是全等的。因此，∠APB=∠APC，即AP平分∠BAC。
模型二：截取构造对称全等
模型分析
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。这是解题中常用的一种技巧。
模型实例
- 实例一：在三角形ABC中，AD是ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB和PC与AB和AC的大小，并说明理由。
解答：由于AD是ABC的外角平分线，所以∠BAD=∠CAD。又因为BP=PC（对称性），所以三角形ABP和三角形ACP是全等的。因此，AB=AC。
- 实例二：在三角形ABC中，AD是ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。
解答：由于AD是ABC的内角平分线，所以∠BAD=∠CAD。又因为BP=PC（对称性），所以三角形ABP和三角形ACP是全等的。因此，AC-AB=PC-PB。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
模型分析
利用等腰三角形的三线合一性质，可以构造出两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
模型实例
- 实例一：在三角形ABC中，AP垂直于BC于点P，求证：三角形ABP和三角形ACP是全等的。
证明：由于AP垂直于BC，所以∠BAP=∠CAP=90°。又因为∠BAC=∠BAC（公共角），所以三角形ABP和三角形ACP是全等的。
- 实例二：在三角形ABC中，AP垂直于BC于点P，求证：AB=AC。
证明：由于三角形ABP和三角形ACP是全等的，所以AB=AC。
模型四：角平分线平行线
模型分析
当有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件。
模型实例
- 实例一：在三角形ABC中，AD平分∠BAC，求证：三角形ABD和三角形ACD是全等的。
证明：过点D作DE平行于AC于点E，由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。又因为DE平行于AC，所以∠ADE=∠CAD。因此，三角形ABD和三角形ACD是全等的。
- 实例二：在三角形ABC中，AD平分∠BAC，求证：AB=AC。
证明：由于三角形ABD和三角形ACD是全等的，所以AB=AC。
通过以上四个模型的介绍和实例分析，相信读者对角平分线模型有了更深入的了解。在实际解题过程中，灵活运用这些模型，可以大大提高解题效率，轻松提升几何解题能力。