在初中几何学习中，角平分线是一个重要的概念。它不仅在中考数学中经常出现，而且在解决许多几何问题时，角平分线的性质和模型都发挥着关键作用。本文将详细介绍角平分线的四大模型，帮助读者深入理解这一几何奥秘。
模型一：角平分线上的点向两边作垂线
模型分析
在角平分线上任意取一点P，过点P分别向角的两边作垂线，垂足分别为A和B。根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可以构造出两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
模型实例
例题：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，求点D到直线AB的距离。 解答：过点D作DE⊥AB于点E，由于AD平分∠CAB，CD=DE。由BC=6cm，BD=4cm，得DE=2cm，即点D到直线AB的距离是2cm。
练习：在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠BAD=∠BCD。
证明：作DE⊥BC于点E，作DF⊥AB于点F，由BD平分∠ABC，得DF=DE。又AD=DC，∠ADF=∠CDE=90°，因此△ADF≌△CDE（SAS）。从而∠ADF=∠CDE，即∠BAD=∠BCD。
模型二：截取构造对称全等
模型分析
在角平分线上任意取一点P，在角的两边分别截取等长的线段，连接这两点与角平分线上的点P，可以构造出对称全等的三角形。
模型实例
例题：在△ABC中，AD是∠CAB的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB和PC与AB和AC的大小关系。 解答：作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，由AD平分∠CAB，得PE=PF。因此，△PEB≌△PFA（HL）。从而PB=PF，PC=PE，即PB=PF=PC。
练习：在△ABC中，AB=AC，AD是∠CAB的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PC-PB与AC-AB的大小关系，并说明理由。
解答：由AB=AC，得AD平分∠CAB，因此PC-PB=PE-PF。又PE=PF，所以PC-PB=0，即PC-PB=AC-AB。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
模型分析
在角的两边分别取点，连接这两点与角平分线上的点，可以构造出等腰三角形。
模型实例
例题：在△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，求证：BD=CD。 解答：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，由AD平分∠CAB，得BE=CF。因此，△BDE≌△CDF（HL）。从而BD=CD。
练习：在△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，求证：∠ADB=∠ADC。
证明：由AB=AC，得AD平分∠CAB，因此∠ADB=∠ADC。
模型四：角平分线平行线
模型分析
在角平分线上任意取一点P，过点P作角的两边的平行线，可以构造出等腰三角形。
模型实例
例题：在△ABC中，AD平分∠CAB，求证：∠APB=∠CPD。 解答：过点P作PE∥AB，PF∥AC，由AD平分∠CAB，得∠APE=∠APF。因此，△APE≌△APF（AAS）。从而∠APB=∠CPD。
练习：在△ABC中，AD平分∠CAB，求证：∠APB=∠ACD。
证明：由AD平分∠CAB，得∠APB=∠ACD。
通过以上对角平分线四大模型的介绍，相信读者已经对这一几何概念有了更深入的理解。在解决几何问题时，灵活运用这些模型，将有助于提高解题效率。