引言
在几何学中，角平分线是一个重要的概念，它将一个角平分为两个相等的角。角平分线在几何证明和计算中扮演着关键角色。掌握角平分线的性质和模型，可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。本文将详细介绍角平分线的五大模型，并探讨如何运用这些模型来提升解题技巧。
模型一：角平分线垂两边
模型分析
角平分线垂两边模型指的是，角平分线上的点到角的两边距离相等。这个性质可以用来构造全等三角形，从而为证明边相等、角相等创造条件。
模型实例
实例一：在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E在AB上，点F在AC上，且DE=DF。求证：∠ADE=∠ADF。
- 解答：由角平分线性质，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又因为DE=DF，所以三角形ADE和ADF全等（SAS），从而∠ADE=∠ADF。
实例二：在四边形ABCD中，AD是∠BAC的平分线，BC=CD，求证：AB=AD。
- 解答：由角平分线性质，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又因为BC=CD，所以三角形ABC和ACD全等（SAS），从而AB=AD。
模型二：角平分线垂中间
模型分析
角平分线垂中间模型指的是，角平分线垂直于角的中间线。这个性质可以用来构造等腰三角形，从而为证明结论提供更多条件。
模型实例
实例一：在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E在BC上，且DE⊥AC。求证：AB=AC。
- 解答：由角平分线性质，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又因为DE⊥AC，所以三角形ADE和ADC全等（HL），从而AB=AC。
实例二：在四边形ABCD中，AD是∠BAC的平分线，BC=CD，求证：AB=AD。
- 解答：由角平分线性质，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又因为BC=CD，所以三角形ABC和ACD全等（SAS），从而AB=AD。
模型三：角平分线平行线
模型分析
角平分线平行线模型指的是，角平分线与角的一边平行。这个性质可以用来构造等腰三角形，从而为证明结论提供更多条件。
模型实例
实例一：在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E在BC上，且AD∥BC。求证：AB=AC。
- 解答：由角平分线性质，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又因为AD∥BC，所以三角形ABD和ACD全等（AAS），从而AB=AC。
实例二：在四边形ABCD中，AD是∠BAC的平分线，BC=CD，求证：AB=AD。
- 解答：由角平分线性质，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又因为BC=CD，所以三角形ABC和ACD全等（SAS），从而AB=AD。
模型四：利用角平分线作对称
模型分析
利用角平分线作对称模型指的是，利用角平分线的对称性，构造对称全等三角形，从而得到对应边、对应角相等。
模型实例
实例一：在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E在AB上，点F在AC上，且AE=AF。求证：∠BAE=∠CAF。
- 解答：由角平分线性质，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又因为AE=AF，所以三角形ABE和ACF全等（SAS），从而∠BAE=∠CAF。
实例二：在四边形ABCD中，AD是∠BAC的平分线，BC=CD，求证：AB=AD。
- 解答：由角平分线性质，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又因为BC=CD，所以三角形ABC和ACD全等（SAS），从而AB=AD。
模型五：内外角模型
模型分析
内外角模型指的是，角平分线将一个内角和外角分为两个相等的角。这个性质可以用来证明内外角的关系。
模型实例
实例一：在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E在BC上，求证：∠BAD=∠CAD。
- 解答：由角平分线性质，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。
实例二：在四边形ABCD中，AD是∠BAC的平分线，BC=CD，求证：AB=AD。
- 解答：由角平分线性质，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又因为BC=CD，所以三角形ABC和ACD全等（SAS），从而AB=AD。
总结
通过以上对角平分线五大模型的解析，我们可以更好地理解和应用角平分线的性质，从而在解决几何问题时更加得心应手。掌握这些模型，将有助于提升我们的几何解题技巧。