在立体几何中，外接球是一个重要的概念。它指的是一个球体，其球面与立体图形的所有顶点都相切。外接球在立体几何的证明和计算中起着关键作用。以下是对立体几何中外接球八大模型的详细解析：
一、墙角模型
适用范围：适用于三组或三条棱两两垂直的立体图形。
模型特点：在长方体中画出该图，且各顶点与长方体的顶点重合，直接用公式 \(2R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)，即 \(R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}\)，求出R。
计算步骤：
- 确定长方体的三个边长a、b、c。
- 计算长方体的对角线长度d：\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)。
- 外接球半径R等于对角线长度的一半：\(R = \frac{d}{2}\)。
二、麻花模型
适用范围：适用于对棱相等的三棱锥。
模型特点：三棱锥的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
计算步骤：
- 确定长方体的三个边长a、b、c。
- 计算长方体的对角线长度d：\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)。
- 外接球半径R等于对角线长度的一半：\(R = \frac{d}{2}\)。
三、垂面模型
适用范围：适用于有一条棱垂直于底面的棱锥。
模型特点：将底面ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O。
计算步骤：
- 确定底面ABC的外接圆半径r。
- 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径R：\(R^2 = r^2 + h^2\)，其中h为棱锥的高。
四、汉堡模型
适用范围：适用于直棱柱的外接球。
模型特点：形似两边夹的汉堡，适用于可以补成直棱柱的立体图形。
计算步骤：
- 确定直棱柱的三个边长a、b、c。
- 计算直棱柱的对角线长度d：\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)。
- 外接球半径R等于对角线长度的一半：\(R = \frac{d}{2}\)。
五、折叠模型
适用范围：适用于两部分形状相同的图形进行折叠。
模型特点：因为两边的形状相同，所以下图中OE连线平分二面角。
计算步骤：
- 确定两部分的形状和尺寸。
- 利用勾股定理求外接球半径R。
六、切瓜模型
适用范围：适用于有形似切西瓜的一横一竖的两刀的立体图形。
模型特点：根据公式 \(R = \frac{\sqrt{r_1^2 + r_2^2 + l^2}}{2}\)，其中 \(r_1\) 和 \(r_2\) 分别为两个外接圆半径，l为两条交线的长度。
七、对棱相等模型
适用范围：适用于补形为长方体的立体图形。
模型特点：类似于麻花模型的扭转形状，只要从麻花模型的结论更进一步即可。
计算步骤：
- 确定长方体的三个边长a、b、c。
- 计算长方体的对角线长度d：\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)。
- 外接球半径R等于对角线长度的一半：\(R = \frac{d}{2}\)。
八、椎体模型
适用范围：适用于锥体的外接球。
模型特点：锥体的外接球球心在其高上，具体位置可通过计算找到。
计算步骤：
- 确定锥体的底面半径r和高h。
- 利用勾股定理求锥体的外接球半径R：\(R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2\)。
以上是对立体几何中外接球八大模型的详细解析，掌握这些模型有助于更好地解决立体几何问题。