一、直角三角形锐角平分线
概述
直角三角形的锐角平分线是勾股定理在几何中的应用之一。它涉及直角三角形中锐角的平分线与直角边的关系。
关键点
- 定义：锐角平分线是从直角顶点出发，将锐角平分的线段。
- 性质：锐角平分线将直角三角形分成两个相似的直角三角形。
- 应用：利用相似三角形的性质，可以求解直角三角形的边长或角度。
例题
设直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求∠B的度数。
解：由于∠A=30°，∠B=60°（直角三角形两锐角和为90°），所以∠B的度数为60°。
二、图形翻折问题
概述
图形翻折问题主要考察矩形折叠前后边角的关系，以及如何利用勾股定理求解新形成的直角三角形。
关键点
- 定义：矩形折叠后，相邻边和角的关系。
- 性质：折叠前后的边角对应关系。
- 应用：利用勾股定理求解新形成的直角三角形。
例题
矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，沿对角线BD折叠，求折痕EF的长度。
解：由于ABCD是矩形，所以∠B=90°。折叠后，∠BFD=90°，∠BFE=∠B=90°，因此△BFE是直角三角形。根据勾股定理，EF=√(BE^2 - BF^2) = √(8^2 - 6^2) = √(64 - 36) = √28 = 2√7 cm。
三、赵爽弦图
概述
赵爽弦图是勾股定理在几何中的应用之一，主要考察弦图中的面积关系。
关键点
- 定义：赵爽弦图是一种特殊的几何图形，由勾股定理的边构成。
- 性质：赵爽弦图的面积关系在选择题、填空题中经常出现。
- 应用：记住面积关系，提高解题效率。
例题
在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，求斜边BC的长度。
解：根据勾股定理，BC=√(AB^2 - AC^2) = √(10^2 - 6^2) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm。
四、风吹树折
概述
风吹树折类题目主要考查勾股定理的应用，以及如何将语言文字转化为数学模型。
关键点
- 定义：风吹树折类题目考查的是勾股定理。
- 性质：设未知数列方程求解。
- 应用：将语言文字转化为数学模型。
例题
一棵树高10m，风吹树干使其倾斜，树干与地面的夹角为30°，求树干倾斜后的长度。
解：设树干倾斜后的长度为x，则根据勾股定理，x^2 + 10^2 = (10/x) * x^2，解得x=5√3 m。
五、风吹荷花模型
概述
风吹荷花模型与风吹树折类题目类似，主要考查勾股定理的应用。
关键点
- 定义：风吹荷花模型考查的是勾股定理。
- 性质：设未知数列方程求解。
- 应用：将语言文字转化为数学模型。
例题
一艘船在河中行驶，船头与河岸的夹角为60°，船行驶了100m，求船头与河岸的距离。
解：设船头与河岸的距离为x，则根据勾股定理，x^2 + 100^2 = (100/x) * x^2，解得x=50√3 m。
六、378和578模型
概述
378和578模型是利用勾股定理解三角形的一种方法，主要考察学生对勾股定理的熟练程度。
关键点
- 定义：378和578模型是一种特殊的勾股数。
- 性质：如果三角形的三边长满足3a^2+4b^2=5c^2，则该三角形是直角三角形。
- 应用：利用378和578模型求解直角三角形的边长或角度。
例题
已知三角形的三边长分别为3、4、5，求该三角形的面积。
解：由于3^2+4^2=5^2，所以该三角形是直角三角形。根据直角三角形的面积公式，面积为1/2 * 3 * 4 = 6 平方单位。
七、蚂蚁爬行
概述
蚂蚁爬行问题主要考查最值问题的应用，以及如何利用勾股定理求解。
关键点
- 定义：蚂蚁爬行问题是一种最值问题。
- 性质：设未知数列方程求解。
- 应用：利用勾股定理求解。
例题
一只蚂蚁从A点出发，先向上爬3m，再向右爬4m，最后向下爬3m，求蚂蚁走过的最短路径长度。
解：设蚂蚁走过的最短路径长度为x，则根据勾股定理，x^2 = 3^2 + 4^2 + 3^2 = 9 + 16 + 9 = 34，解得x=√34 m。
八、重美四边形
概述
重美四边形是指对角线互相垂直的四边形，勾股定理是计算的工具。
关键点
- 定义：对角线互相垂直的四边形。
- 性质：勾股定理是计算的工具。
- 应用：利用勾股定理求解重美四边形的边长或角度。
例题
重美四边形ABCD中，AB=5cm，BC=12cm，求对角线AC的长度。
解：由于ABCD是重美四边形，所以∠A=90°。根据勾股定理，AC=√(AB^2 + BC^2) = √(5^2 + 12^2) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm。