模型一：基本面积公式
介绍
对于任意三角形，其面积可以通过底边长度和对应的高来计算。
公式
[ S = \frac{1}{2} \times \text{底边长度} \times \text{高度} ]
使用场景
适用于已知三角形底边和对应高的情况。
例子
已知三角形ABC的底边AB长度为5cm，对应的高为4cm，则其面积为： [ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10 \text{cm}^2 ]
模型二：海伦公式
介绍
海伦公式是一种通过三角形的三边长度来计算面积的方法。
公式
[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ] 其中，( s ) 为三角形的半周长，( a, b, c ) 为三角形的三边长度。
使用场景
适用于已知三角形三边长度的情况。
例子
已知三角形ABC的三边长度分别为5cm、7cm、8cm，则其半周长为： [ s = \frac{5+7+8}{2} = 10 \text{cm} ] 根据海伦公式，其面积为： [ S = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} \approx 16.97 \text{cm}^2 ]
模型三：正弦定理
介绍
正弦定理是一种通过三角形的一个角的正弦值以及对应的边长来计算面积的方法。
公式
[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin© ] 其中，( a, b ) 为三角形的两边长度，( C ) 为这两边所夹的角。
使用场景
适用于已知三角形两边长度和它们所夹的角的情况。
例子
已知三角形ABC的两边长度分别为5cm和7cm，它们所夹的角为60度，则其面积为： [ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin(60^\circ) \approx 17.65 \text{cm}^2 ]
模型四：内切圆半径
介绍
通过三角形的内切圆半径和周长来计算面积。
公式
[ S = r \times \text{周长} ] 其中，( r ) 为三角形的内切圆半径。
使用场景
适用于已知三角形内切圆半径和周长的情况。
例子
已知三角形ABC的内切圆半径为2cm，周长为10cm，则其面积为： [ S = 2 \times 10 = 20 \text{cm}^2 ]
模型五：外接圆半径
介绍
通过三角形的边长和外接圆半径来计算面积。
公式
[ S = \frac{abc}{4R} ] 其中，( a, b, c ) 为三角形的三边长度，( R ) 为三角形外接圆半径。
使用场景
适用于已知三角形三边长度和它们所对应的外接圆半径的情况。
例子
已知三角形ABC的三边长度分别为5cm、7cm、8cm，它们所对应的外接圆半径为4cm，则其面积为： [ S = \frac{5 \times 7 \times 8}{4 \times 4} = 35 \text{cm}^2 ]
模型六：坐标法
介绍
通过三角形的顶点坐标来计算面积。
公式
[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ] 其中，( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) ) 为三角形三个顶点的坐标。
使用场景
适用于已知三角形顶点坐标的情况。
例子
已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 1)，B(4, 5)，C(7, 2)，则其面积为： [ S = \frac{1}{2} \left| 1(5 - 2) + 4(2 - 1) + 7(1 - 5) \right| = 12 \text{cm}^2 ]
模型七：向量叉积
介绍
通过向量叉积计算三角形面积。
公式
[ S = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| ] 其中，( \vec{AB}, \vec{AC} ) 为三角形两边对应的向量。
使用场景
适用于已知三角形顶点坐标的情况。
例子
已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 1)，B(4, 5)，C(7, 2)，则其面积为： [ \vec{AB} = (4 - 1, 5 - 1) = (3, 4) ] [ \vec{AC} = (7 - 1, 2 - 1) = (6, 1) ] [ \vec{AB} \times \vec{AC} = 3 \times 1 - 4 \times 6 = -21 ] [ S = \frac{1}{2} \left| -21 \right| = 10.5 \text{cm}^2 ]
模型八：等积模型
介绍
等积模型是一种利用已知三角形面积和相似三角形面积之间的关系来计算面积的方法。
公式
[ S_1 = k^2 \times S_2 ] 其中，( S_1, S_2 ) 为两个相似三角形的面积，( k ) 为它们对应边长的比例系数。
使用场景
适用于已知相似三角形面积和它们对应边长比例系数的情况。
例子
已知三角形ABC和三角形DEF相似，且它们的面积比为4:9，对应边长比为2:3，则三角形DEF的面积为： [ S{DEF} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times S{ABC} = \frac{9}{4} \times S_{ABC} ]