在几何学中，三角形是基础且重要的图形。掌握三角形的性质和判定定理对于解决几何问题至关重要。本文将深入探讨三角形的三大经典模型：背靠背型、母抱子型和拥抱型，并举例说明如何运用这些模型解决实际问题。
模型一：背靠背型
概念
背靠背型模型是指解三角形时构造两个三角形共侧边、反向靠的模型。在这种模型中，两个三角形的公共边是解题的关键。
应用实例
例1：如图1（a），海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为x海里。
解析：本题目实质上为解三角形ABD，可构造背靠背模型。过点A作AC⊥BD，如图1（b），根据方位角及三角函数即可求解。
解答步骤：
- 根据题意，∠BAC=45°，所以△ABC是等腰直角三角形。
- AB=20（海里），则AC=BC=AB·sin45°=10√2（海里）。
- 在RtACD中，∠ADC=90°-60°=30°，所以AD=AC·tan30°=10√2·(√3/3)=10√6/3（海里）。
评析：上述解ABD求AD长时构造了背靠背模型，RtACD和RtACB有公共边AC，解三角形时充分利用进行线段长推导。
模型二：母抱子型
概念
母抱子型模型是指解三角形时构造两个三角形共侧边、同向靠的模型，且两个三角形有明显大小差异。
应用实例
例2：如图2（a），在平面直角坐标系中，点A（0，0），B（2，0），C（0，3），D（x，y）。
解析：要证明△ABC≌△ACD，只需证明AB=AC，BC=CD。
解答步骤：
- 在RtABC中，AB=2，AC=3，所以BC=√(AB²+AC²)=√(2²+3²)=√13。
- 在RtACD中，CD=√(AD²+AC²)=√(x²+y²+3²)。
- 要使△ABC≌△ACD，只需证明√13=√(x²+y²+3²)。
评析：母抱子型模型在证明全等三角形时，可以充分利用两个三角形的共边关系，简化证明过程。
模型三：拥抱型
概念
拥抱型模型是指解三角形时构造两个三角形共侧边、同向靠的模型，且两个三角形大小相近。
应用实例
例3：如图3（a），在平面直角坐标系中，点A（0，0），B（2，0），C（0，3），D（x，y）。
解析：要证明△ABC≌△ACD，只需证明AB=AC，BC=CD。
解答步骤：
- 在RtABC中，AB=2，AC=3，所以BC=√(AB²+AC²)=√(2²+3²)=√13。
- 在RtACD中，CD=√(AD²+AC²)=√(x²+y²+3²)。
- 要使△ABC≌△ACD，只需证明√13=√(x²+y²+3²)。
评析：拥抱型模型在证明全等三角形时，可以充分利用两个三角形的共边关系，简化证明过程。
总结
本文详细介绍了三角形的三大经典模型：背靠背型、母抱子型和拥抱型，并通过实例说明了如何运用这些模型解决实际问题。掌握这些模型有助于我们更好地理解和解决几何问题。