模型一：等积模型
等积模型是三角形几何中非常基础且重要的模型。它主要包括以下几种情况：
- 等底等高的两个三角形面积相等：如果两个三角形的底边相等且高相等，则这两个三角形的面积也相等。
- 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比：如果两个三角形的高相等，则它们的面积比等于底边的比。
- 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比：如果两个三角形的底边相等，则它们的面积比等于高的比。
例如，在等底等高的两个三角形中，如果底边长度为 (b)，高为 (h)，则它们的面积分别为 (\frac{1}{2}bh)。
模型二：等分点结论（鸟头定理）
鸟头定理指出，三角形的一个内角平分线将该角所对的边分成的两部分，其面积之比等于另外两个内角的平分线所对边的面积之比。
例如，在三角形 (ABC) 中，角 (A) 的平分线 (AD) 将 (BC) 分成 (BD) 和 (CD) 两部分，若 (BD:CD = AB:AC)，则 (S{\triangle ABD}:S{\triangle ACD} = AB:AC)。
模型三：任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）
蝴蝶定理指出，任意四边形中，对角线交点将四边形分割成四个三角形，这四个三角形的面积之比等于对应对角线的乘积之比。
例如，在四边形 (ABCD) 中，对角线 (AC) 和 (BD) 交于点 (O)，则 (S{\triangle ABO}:S{\triangle BCO}:S{\triangle ADO}:S{\triangle CDO} = OA \cdot OB:OC \cdot OD:OA \cdot OD:OB \cdot OC)。
模型四：相似三角形性质
相似三角形性质主要包括以下两点：
- 相似的基本概念：两个三角形对应边成比例，对应角相等。
- 判断相似的方法：
- 两个三角形若有两个角对应相等，则这两个三角形相似。
- 两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等，则两个三角形相似。
例如，在三角形 (ABC) 和 (DEF) 中，如果 (\angle A = \angle D) 且 (\angle B = \angle E)，则 ( \triangle ABC \sim \triangle DEF )。
模型五：角平分线模型
角平分线模型主要包括以下几种情况：
- 角平分线垂两边：三角形的一个内角平分线垂直于该角所对的边。
- 角平分线垂中间：三角形的一个内角平分线垂直于对边的中点。
- 角平分线构造轴对称：三角形的一个内角平分线将该角所对的边平分，并且与对边的中点连线构成轴对称。
例如，在三角形 (ABC) 中，角 (A) 的平分线 (AD) 垂直于 (BC)，并且 (AD) 平分 (BC)。
模型六：梯形中的比例关系
梯形中的比例关系主要包括以下几种情况：
- 梯形中位线定理：梯形的中位线等于上底和下底的平均值。
- 梯形中位线与对角线的关系：梯形的中位线与对角线垂直，并且中位线的长度等于对角线长度的平均值。
例如，在梯形 (ABCD) 中，如果 (AD) 和 (BC) 是平行边，则 (EF)（(AB) 和 (CD) 的中点连线）垂直于 (AD) 和 (BC)，并且 (EF = \frac{AD + BC}{2})。
模型七：倍长中线模型
倍长中线模型主要包括以下几种情况：
- 倍长中线：将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形。
- 倍长中线与截长补短模型：利用倍长中线构造全等三角形，从而解决与三角形中线有关的问题。
例如，在三角形 (ABC) 中，延长中线 (AD) 到点 (E)，使得 (DE = AD)，则 ( \triangle ADE \cong \triangle ABC )。
模型八：截长补短模型
截长补短模型主要包括以下几种情况：
- 截长补短：将三角形的一条边截取一段，再补上一段，以便构造出全等三角形。
- 截长补短与倍长中线模型结合：利用截长补短和倍长中线模型解决与三角形边长有关的问题。
例如，在三角形 (ABC) 中，截取 (AB) 的中点 (D)，并将 (AD) 延长到 (E)，使得 (DE = AD)，则 ( \triangle ADE \cong \triangle ABC )。
通过以上8种三角形几何模型的解析与应用，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。在实际应用中，根据具体问题选择合适的模型，结合模型结论和证明方法，能够有效地提高解题效率。