模型一：角平分线上的点向两边作垂线
概述
在角平分线上选取一点，向角的两边分别作垂线，这是角平分线四大模型中的第一个。这一模型利用了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
模型分析
- 性质应用：通过角平分线的性质，可以构造出相等的线段和角，为证明线段或角相等提供条件。
- 解题突破：在解题过程中，利用这一模型可以快速找到解题的突破口。
模型实例
- 例题：在四边形ABCD中，BC > AB，AD = DC，BD平分∠ABC。
- 求解：证明∠ABD = ∠CBD。
解答步骤
- 作DE平行于BC，交AB于E。
- 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD = ∠CBD。
- 利用角平分线的性质，得到DE = BC。
- 由平行线性质，得到∠AED = ∠ABC。
- 由三角形内角和定理，得到∠AED + ∠DEB + ∠BEC = 180°。
- 代入已知条件，得到∠ABD + ∠DEB + ∠BEC = 180°。
- 由步骤2和步骤6，得到∠ABD = ∠BEC。
模型二：截取构造对称全等
概述
在角的两边分别截取相等的线段，然后利用角平分线的对称性构造出对称全等三角形。
模型分析
- 对称性应用：利用角平分线的对称性，构造出对称全等三角形。
- 解题技巧：通过对称性将线段或角进行转移，简化问题。
模型实例
- 例题：在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB = AC，AB = 16，BD = 8。
- 求解：求线段AC的长度。
解答步骤
- 作DE平行于AC，交AB于E。
- 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
- 由对称性，得到△ABD ≌ △ACD。
- 由全等三角形的性质，得到AD = AD。
- 由勾股定理，得到AE = 8√3。
- 由三角形内角和定理，得到∠BAC = 60°。
- 由正弦定理，得到AC = 16sin60° = 8√3。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
概述
在角平分线上任意选取一点，过该点作角平分线的垂线，构造出等腰三角形。
模型分析
- 等腰三角形应用：利用等腰三角形的性质，如三线合一，构造出等腰三角形。
- 解题技巧：通过构造等腰三角形，为证明线段或角相等提供条件。
模型实例
- 例题：在三角形ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD垂直于BE，垂足为D。
- 求解：证明AD是AB的中线。
解答步骤
- 作AE垂直于BC，交BC于E。
- 因为BE平分∠ABC，所以∠ABE = ∠CBE。
- 由三角形内角和定理，得到∠ABE + ∠BAC + ∠CBE = 180°。
- 由步骤2和步骤3，得到∠BAC = 60°。
- 由等腰三角形的性质，得到AD = DB。
- 由勾股定理，得到AE = DE。
- 由三角形内角和定理，得到∠AED = 90°。
- 由步骤5和步骤7，得到AD是AB的中线。
模型四：角平分线平行线
概述
在角平分线上任意选取一点，过该点作角平分线的平行线，构造出等腰三角形。
模型分析
- 平行线应用：利用平行线的性质，构造出等腰三角形。
- 解题技巧：通过构造等腰三角形，为证明线段或角相等提供条件。
模型实例
- 例题：在三角形ABC中，∠ABC = ∠ACB，角平分线CD交AB于点E。
- 求解：证明△ACD是等腰三角形。
解答步骤
- 作EF平行于CD，交AC于F。
- 因为∠ABC = ∠ACB，所以∠AEC = ∠CFD。
- 由平行线性质，得到∠AED = ∠CFD。
- 由三角形内角和定理，得到∠AED + ∠EFD + ∠FDC = 180°。
- 由步骤2和步骤4，得到∠EFD = ∠FDC。
- 由等腰三角形的性质，得到AD = DC。
- 由步骤5和步骤6，得到△ACD是等腰三角形。