在数学几何的学习中，掌握一定的模型是解决复杂问题的重要途径。以下将详细介绍数学中的三角9大模型，帮助读者更好地理解和解决几何难题。
模型一：手拉手模型
概念
手拉手模型是指两个三角形通过旋转、平移等变换后，能够重合的模型。
应用
- 全等三角形：当两个三角形通过旋转、平移后能够完全重合，则这两个三角形全等。
- 相似三角形：当两个三角形通过旋转、平移后形状相似，但大小不同，则这两个三角形相似。
例子
如图1所示，三角形ABC和三角形DEF通过旋转、平移后能够重合，因此它们是全等三角形。
模型二：对角互补模型
概念
对角互补模型是指两个三角形的一个角和另一个三角形的两个角互补的模型。
应用
- 全等三角形：当两个三角形的一个角和另一个三角形的两个角互补，则这两个三角形全等。
- 相似三角形：当两个三角形的一个角和另一个三角形的两个角互补，则这两个三角形相似。
例子
如图2所示，三角形ABC和三角形DEF中，∠A与∠D、∠E互补，因此它们是全等三角形。
模型三：半角模型
概念
半角模型是指一个三角形的一个角是另一个三角形两个角的和的模型。
应用
- 全等三角形：当两个三角形的一个角是另一个三角形两个角的和，则这两个三角形全等。
- 相似三角形：当两个三角形的一个角是另一个三角形两个角的和，则这两个三角形相似。
例子
如图3所示，三角形ABC和三角形DEF中，∠A是∠D和∠E的和，因此它们是全等三角形。
模型四：倍长中线型
概念
倍长中线型是指一个三角形的中线被延长后，与原三角形全等的模型。
应用
- 全等三角形：当一个三角形的中线被延长后与原三角形全等，则这两个三角形全等。
- 相似三角形：当一个三角形的中线被延长后与原三角形相似，则这两个三角形相似。
例子
如图4所示，三角形ABC的中线AD被延长后与原三角形ABC全等。
模型五：旋转模型
概念
旋转模型是指一个三角形绕一个点旋转一定角度后，与原三角形全等的模型。
应用
- 全等三角形：当一个三角形绕一个点旋转一定角度后与原三角形全等，则这两个三角形全等。
- 相似三角形：当一个三角形绕一个点旋转一定角度后与原三角形相似，则这两个三角形相似。
例子
如图5所示，三角形ABC绕点O旋转60°后与原三角形ABC全等。
模型六：倍长边型
概念
倍长边型是指一个三角形的边被延长后，与原三角形全等的模型。
应用
- 全等三角形：当一个三角形的边被延长后与原三角形全等，则这两个三角形全等。
- 相似三角形：当一个三角形的边被延长后与原三角形相似，则这两个三角形相似。
例子
如图6所示，三角形ABC的边AB被延长后与原三角形ABC全等。
模型七：倍长高型
概念
倍长高型是指一个三角形的高被延长后，与原三角形全等的模型。
应用
- 全等三角形：当一个三角形的高被延长后与原三角形全等，则这两个三角形全等。
- 相似三角形：当一个三角形的高被延长后与原三角形相似，则这两个三角形相似。
例子
如图7所示，三角形ABC的高AD被延长后与原三角形ABC全等。
模型八：倍长角平分线型
概念
倍长角平分线型是指一个三角形的角平分线被延长后，与原三角形全等的模型。
应用
- 全等三角形：当一个三角形的角平分线被延长后与原三角形全等，则这两个三角形全等。
- 相似三角形：当一个三角形的角平分线被延长后与原三角形相似，则这两个三角形相似。
例子
如图8所示，三角形ABC的角平分线AD被延长后与原三角形ABC全等。
模型九：倍长中线角平分线型
概念
倍长中线角平分线型是指一个三角形的中线和角平分线被延长后，与原三角形全等的模型。
应用
- 全等三角形：当一个三角形的中线和角平分线被延长后与原三角形全等，则这两个三角形全等。
- 相似三角形：当一个三角形的中线和角平分线被延长后与原三角形相似，则这两个三角形相似。
例子
如图9所示，三角形ABC的中线AD和角平分线BE被延长后与原三角形ABC全等。
通过以上九大模型的介绍，相信读者对数学几何中的模型有了更深入的了解。在实际解题过程中，灵活运用这些模型，将有助于解决复杂的几何问题。