在立体几何中，外接球是一个重要的概念，它涉及到多面体的各个顶点都在一个球的球面上。本文将揭秘数学外接球的七大模型，通过图解的方式使概念直观易懂。
模型一：长方体的外接球
定义
长方体的外接球是指所有顶点都在同一个球面上的球。
求法
- 长方体的对角线长度等于外接球的直径。
- 外接球的球心位于长方体的体对角线的中点。
图解
A
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| 4
|
|_____
| |
| | 3
|_____|_____
| |
| | 2
|_____|_____
B C
球心O位于对角线AC的中点，直径为( \sqrt{4^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{29} )。
模型二：正方体的外接球
定义
正方体的外接球是指所有顶点都在同一个球面上的球。
求法
- 正方体的对角线长度等于外接球的直径。
- 外接球的球心位于正方体的体对角线的中点。
图解
A
| 3
|
|_____
| |
| | 3
|_____|_____
| |
| | 3
|_____|_____
B C
球心O位于对角线AC的中点，直径为( \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = 3\sqrt{3} )。
模型三：三棱锥的外接球
定义
三棱锥的外接球是指所有顶点都在同一个球面上的球。
求法
- 三棱锥的底面外接圆半径与顶点到外接圆的距离相等。
- 外接球的球心位于顶点到外接圆圆心的连线上。
图解
A
/|\
/ | \
/ | \
/ | \
/____|____\
/ | \
B C D
球心O位于顶点A到底面BCD外接圆圆心E的连线上，距离为( \frac{AD}{2} )。
模型四：四面体的外接球
定义
四面体的外接球是指所有顶点都在同一个球面上的球。
求法
- 四面体的对角线长度等于外接球的直径。
- 外接球的球心位于对角线的交点。
图解
A
/|\
/ | \
/ | \
/___|___\
/ | \
B C D
球心O位于对角线AC、BD、CD的交点。
模型五：正四面体的外接球
定义
正四面体的外接球是指所有顶点都在同一个球面上的球。
求法
- 正四面体的外接球半径等于边长的( \frac{\sqrt{6}}{4} )倍。
- 外接球的球心位于正四面体的重心。
图解
A
/|\
/_|_\
/ \
/_______\
/ \
B C
球心O位于正四面体的重心，距离顶点A为边长的( \frac{\sqrt{6}}{4} )。
模型六：棱柱的外接球
定义
棱柱的外接球是指所有顶点都在同一个球面上的球。
求法
- 棱柱的底面外接圆半径与顶点到外接圆的距离相等。
- 外接球的球心位于顶点到外接圆圆心的连线上。
图解
A
/|\
/_|_\
/ \
/_______\
/ \
B C
球心O位于顶点A到底面BCD外接圆圆心E的连线上，距离为( \frac{AD}{2} )。
模型七：棱锥的外接球
定义
棱锥的外接球是指所有顶点都在同一个球面上的球。
求法
- 棱锥的底面外接圆半径与顶点到外接圆的距离相等。
- 外接球的球心位于顶点到外接圆圆心的连线上。
图解
A
/|\
/_|_\
/ \
/_______\
/ \
B C
球心O位于顶点A到底面BCD外接圆圆心E的连线上，距离为( \frac{AD}{2} )。
通过以上七大模型的图解，我们可以直观地了解外接球的概念及其求法。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的模型进行计算。