正文

揭秘四大模型公式推导：解锁算法奥秘，掌握核心要义

/0 浏览量
0404

在数学建模和算法研究中，四大模型——预测模型、分类模型、评价模型和优化模型，是解决各种复杂问题的基石。这些模型不仅广泛应用于工业、农业、商业等领域，还渗透到环境、社会和军事等各个领域。本篇文章将深入解析这四大模型的公式推导，帮助读者解锁算法奥秘，掌握核心要义。

一、预测模型

1.1 神经网络预测

公式推导

神经网络预测的核心在于前向传播和反向传播。以下是简化的前向传播和反向传播公式：

前向传播： [ y = f(z) = \sigma(W \cdot x + b) ] 其中，( y ) 为输出，( z ) 为输入，( W ) 为权重，( b ) 为偏置，( \sigma ) 为激活函数。

反向传播： [ \Delta W = \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial W} ] [ \Delta b = \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial b} ] 其中，( \eta ) 为学习率，( L ) 为损失函数。

代码实现

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def forwardPropagation(W, b, x):
    z = np.dot(W, x) + b
    y = sigmoid(z)
    return y

def backwardPropagation(y_true, y_pred, W, b, learning_rate):
    delta = y_pred - y_true
    delta_W = learning_rate * np.dot(delta, x.T)
    delta_b = learning_rate * np.sum(delta, axis=0)
    return delta_W, delta_b

1.2 灰色预测

公式推导

灰色预测的原理是利用微分方程对时间序列数据进行预测。以下是灰色预测模型的基本公式：

[ GM(1,1) = \frac{1}{1+ze^{-0.535}} ]

其中，( GM(1,1) ) 为一阶灰色模型，( z ) 为发展系数，( e ) 为自然对数的底数。

代码实现

import numpy as np

def grey_prediction(data):
    z = (data[1:] - data[:-1]) / (data[1:] + data[:-1])
    a = np.log(z) / np.log(2)
    b = (data[-1] - data[0] / np.exp(a[-1])) / (len(data) - 1)
    y_pred = data[0] * np.exp(-a) + b * np.exp(-a)
    return y_pred

二、分类模型

2.1 支持向量机（SVM）

公式推导

SVM的核心是寻找最优的超平面，使得数据点在超平面的两侧分布尽可能均匀。以下是SVM的损失函数和决策边界公式：

损失函数： [ L = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (\omega \cdot x_i + b)^2 ]

决策边界： [ \omega \cdot x_i + b = 0 ]

代码实现

from sklearn.svm import SVC

# 创建SVM模型
model = SVC(kernel='linear')
# 训练模型
model.fit(X_train, y_train)
# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

2.2 决策树

公式推导

决策树通过递归地将数据集划分成子集，并选择最优的特征和阈值进行划分。以下是决策树的决策规则：

决策规则： [ G(x) = \max{a} \sum{i=1}^{n} \frac{1}{N_{i}} \log2 \frac{N{i}}{N} ] 其中，( G(x) ) 为熵，( a ) 为特征和阈值，( N ) 为样本总数。

代码实现

from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier

# 创建决策树模型
model = DecisionTreeClassifier()
# 训练模型
model.fit(X_train, y_train)
# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

三、评价模型

3.1 灰色关联度

公式推导

灰色关联度通过比较序列间的相似程度来评估其关联性。以下是灰色关联度的基本公式：

[ \rho = \frac{min{i,j}|x{i}(k) - x{j}(k)| + \rho \cdot max{i,j}|x{i}(k) - x{j}(k)|}{|x{i}(k) - x{j}(k)| + \rho \cdot max{i,j}|x{i}(k) - x_{j}(k)|} ]

其中，( \rho ) 为分辨系数，( x{i}(k) ) 和 ( x{j}(k) ) 分别为两个序列在第 ( k ) 个时刻的值。

代码实现

def grey_association_degree(x1, x2):
    n = len(x1)
    x1 = np.array(x1)
    x2 = np.array(x2)
    min_d = np.min(np.abs(x1 - x2))
    max_d = np.max(np.abs(x1 - x2))
    rho = 0.5
    d = np.abs(x1 - x2) + rho * max_d
    return (min_d + rho * max_d) / d

四、优化模型

4.1 线性规划

公式推导

线性规划是解决线性约束优化问题的一种方法。以下是线性规划的公式：

目标函数： [ \text{minimize} \quad c^T \cdot x ] 约束条件： [ a_i^T \cdot x \leq b_i, \quad i = 1, 2, \ldots, m ]

代码实现

from scipy.optimize import linprog

# 目标函数系数
c = np.array([1, 2])
# 约束条件系数
A = np.array([[1, 1], [-1, 2]])
b = np.array([2, 0])
# 求解线性规划问题
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, method='highs')

# 输出结果
x = res.x

4.2 非线性规划

公式推导

非线性规划是解决非线性约束优化问题的一种方法。以下是非线性规划的公式：

目标函数： [ \text{minimize} \quad f(x) ] 约束条件： [ g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, 2, \ldots, m ]

代码实现

from scipy.optimize import minimize

# 目标函数
def f(x):
    return (x[0] - 1)**2 + (x[1] - 2)**2

# 约束条件
def g(x):
    return x[0] + x[1] - 3

# 求解非线性规划问题
res = minimize(f, [0, 0], constraints={'type': 'ineq', 'fun': g})

# 输出结果
x = res.x
-- 展开阅读全文 --