在立体几何中，外接球和内切球问题是高考数学的重点和难点。掌握这些技巧不仅能够提高解题速度，还能加深对空间几何体的理解。以下是八大模型的详细解析。
一、墙角模型
方法
- 找出三条两两垂直的线段。
- 使用公式 ( R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}} ) 计算外接球半径 ( R )。
例子
已知正四棱柱的高为4，体积为16，求外接球的表面积。
解答过程：
- 正四棱柱的体积 ( V = 16 )，高 ( h = 4 )。
- 底面积 ( A = \frac{V}{h} = 4 )。
- 底面是正方形，边长 ( a = \sqrt{4} = 2 )。
- 使用公式计算外接球半径 ( R = \sqrt{\frac{2^2 + 2^2 + 4^2}{2}} = 2\sqrt{3} )。
- 外接球表面积 ( S = 4\pi R^2 = 4\pi (2\sqrt{3})^2 = 48\pi )。
二、垂面模型
方法
- 找出一条直线垂直于一个平面。
- 计算该平面外接圆的半径 ( r )。
- 使用公式 ( R = \sqrt{r^2 + \frac{d^2}{4}} ) 计算外接球半径 ( R )。
例子
已知正方体的一个顶点在球面上，且该顶点到球心的距离为 ( d )，求外接球的表面积。
解答过程：
- 正方体的对角线长度 ( d )。
- 外接圆半径 ( r = \frac{d}{2} )。
- 使用公式计算外接球半径 ( R = \sqrt{(\frac{d}{2})^2 + \frac{d^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}d )。
- 外接球表面积 ( S = 4\pi R^2 = 4\pi (\frac{\sqrt{5}}{2}d)^2 = 5\pi d^2 )。
三、切瓜模型
方法
- 找出两个互相垂直的平面。
- 计算两个平面之间的距离 ( d )。
- 使用公式 ( R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}} ) 计算外接球半径 ( R )。
例子
已知一个长方体的长、宽、高分别为 ( a )、( b )、( c )，求外接球的表面积。
解答过程：
- 使用公式计算外接球半径 ( R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}} )。
- 外接球表面积 ( S = 4\pi R^2 )。
四、汉堡模型
方法
- 找出直棱柱的底面和顶面。
- 计算底面和顶面的对角线长度 ( d )。
- 使用公式 ( R = \frac{\sqrt{d^2 + 4h^2}}{2} ) 计算外接球半径 ( R )。
例子
已知一个直棱柱的长、宽、高分别为 ( a )、( b )、( c )，求外接球的表面积。
解答过程：
- 计算底面和顶面的对角线长度 ( d = \sqrt{a^2 + b^2} )。
- 使用公式计算外接球半径 ( R = \frac{\sqrt{d^2 + 4c^2}}{2} )。
- 外接球表面积 ( S = 4\pi R^2 )。
五、折叠模型
方法
- 找出两个互相垂直的平面。
- 计算两个平面之间的距离 ( d )。
- 使用公式 ( R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + 4d^2}{2}} ) 计算外接球半径 ( R )。
例子
已知一个长方体的长、宽、高分别为 ( a )、( b )、( c )，求外接球的表面积。
解答过程：
- 计算底面和顶面的对角线长度 ( d = \sqrt{a^2 + b^2} )。
- 使用公式计算外接球半径 ( R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + 4c^2}{2}} )。
- 外接球表面积 ( S = 4\pi R^2 )。
六、对棱相等模型
方法
- 找出对棱相等的直棱柱。
- 计算底面和顶面的对角线长度 ( d )。
- 使用公式 ( R = \frac{\sqrt{d^2 + 4h^2}}{2} ) 计算外接球半径 ( R )。
例子
已知一个长方体的长、宽、高分别为 ( a )、( b )、( c )，求外接球的表面积。
解答过程：
- 计算底面和顶面的对角线长度 ( d = \sqrt{a^2 + b^2} )。
- 使用公式计算外接球半径 ( R = \frac{\sqrt{d^2 + 4c^2}}{2} )。
- 外接球表面积 ( S = 4\pi R^2 )。
七、两直角三角形拼在一起模型
方法
- 找出两个直角三角形。
- 计算两个直角三角形的斜边长度 ( d )。
- 使用公式 ( R = \frac{\sqrt{d^2 + 4h^2}}{2} ) 计算外接球半径 ( R )。
例子
已知一个直角三角形的两条直角边分别为 ( a )、( b )，斜边为 ( c )，求外接球的表面积。
解答过程：
- 计算斜边长度 ( d = c )。
- 使用公式计算外接球半径 ( R = \frac{\sqrt{d^2 + 4h^2}}{2} )。
- 外接球表面积 ( S = 4\pi R^2 )。
八、椎体的内切球问题
方法
- 找出椎体的底面和侧面。
- 计算底面和侧面的对角线长度 ( d )。
- 使用公式 ( R = \frac{\sqrt{d^2 + 4h^2}}{2} ) 计算内切球半径 ( R )。
例子
已知一个椎体的底面半径为 ( r )，高为 ( h )，求内切球的体积。
解答过程：
- 计算底面和侧面的对角线长度 ( d = \sqrt{2rh} )。
- 使用公式计算内切球半径 ( R = \frac{\sqrt{d^2 + 4h^2}}{2} )。
- 内切球体积 ( V = \frac{4}{3}\pi R^3 )。