在空间几何学中，外接圆是一个重要的概念，它指的是一个圆，其圆周上的点恰好是某个多边形或几何体的顶点。外接圆在解决空间几何问题时扮演着关键角色，尤其在计算几何体尺寸、角度和体积等方面。本文将详细介绍六大外接圆模型，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
模型一：墙角模型
应用范围
适用于三组或三条棱两两垂直的情况，或长方体中各顶点与长方体顶点重合的情况。
推导过程
长方体的体对角线即为外接球的直径。设长方体的长、宽、高分别为 (a)、(b)、(c)，则外接球直径 (d) 为： [ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} ] 外接球半径 (R) 为： [ R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2} ]
秒杀公式
[ R = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{4}} ]
模型二：汉堡模型
应用范围
适用于有一条侧棱垂直于底面的柱体或椎体。
推导过程
- 取底面的外心 (O_1)，过外心做高的平行线且长度相等，在该线上中点为球心的位置。
- 根据勾股定理，可得： [ R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 ] 其中，(h) 为高，(r) 为底面外接圆半径。
秒杀公式
[ R = \sqrt{\frac{h^2}{4} + r^2} ]
模型三：斗笠模型
应用范围
适用于正棱锥或顶点的投影在底面的外心上。
推导过程
- 取底面的外心 (O_1)，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高 (h)。
- 在 (h) 上取一点作为球心 (O)。
- 根据勾股定理，可得： [ R^2 = (h - R)^2 + r^2 ] 其中，(r) 为底面外接圆半径。
秒杀公式
[ R = \sqrt{h^2 - 2Rh + r^2} ]
模型四：折叠模型
应用范围
适用于两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠。
推导过程
- 过两个平面取其外心 (H_1)、(H_2)，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心 (O)。
- 计算两个平面的二面角 (\theta)，根据正切函数，可得： [ \tan(\theta) = \frac{OH_1}{OH_2} ]
- 根据余弦定理，可得： [ R^2 = OH_1^2 + OH_2^2 - 2OH_1 \cdot OH_2 \cdot \cos(\theta) ]
模型五：切割模型
应用范围
适用于两个平面互相垂直的情况。
推导过程
- 易知球心必是两平面的外心，即两平面的外接圆是大圆，先求出小圆的直径。
- 在小圆中，根据正弦定理，求出小圆半径 (r)。
- 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径 (R)。
秒杀公式
[ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} ]
模型六：垂面模型
应用范围
适用于一条直线垂直于一个平面。
推导过程
- 确定球心的位置，取直线的垂足为圆心。
- 根据垂径定理，可得： [ R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2 ] 其中，(h) 为直线与平面的距离，(r) 为平面内与直线距离相等的圆的半径。
秒杀公式
[ R = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + r^2} ]
通过以上六大外接圆模型，我们可以更好地解决空间几何问题。在实际应用中，根据具体问题选择合适的模型，可以简化计算过程，提高解题效率。