圆压轴题是中考数学中的难点和重点，通常出现在试卷的倒数第二题位置。这类题目综合性与难度较大，但掌握了相应的解题技巧后，解题过程将变得轻松许多。以下将详细介绍圆压轴八大模型题的解题技巧。
模型一：弧中点的运用
解题要点
- 弧中点的性质：在圆中，若一条弦的中点在圆的直径上，则该弦与直径垂直。
- 等弧所对的圆周角相等：圆中，等弧所对的圆周角相等。
- 同角或等角的余角相等：在三角形中，同角或等角的余角相等。
举例说明
图1
- 结论：AP = CP = FP。
- 证明：由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：CAD = BAC，PCF = PFC，所以 AP = CP = FP。
图2
- 结论：找出所有与ABC相似的三角形。
- 证明：由垂径定理和弧中点的性质得，DC = AC = AH，再由弧叠加得：CH = AD，所以 CH = AD。由共边角相似易证：ACE = ABC，ACP = ADC，ACF = BCA，进而得 AC² = AEAB，AC² = APAD，AC² = CFCB。
模型二：弦切角
解题要点
- 弦切角定理：圆的切线垂直于弦。
- 切线与半径的关系：切线与半径垂直。
举例说明
图3
- 结论：求证：CF = BF。
- 证明：由弦切角定理得，切线 CF 垂直于弦 AB，所以 CF = BF。
模型三：圆内接四边形
解题要点
- 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补。
- 圆内接四边形性质：圆内接四边形的对边平行。
举例说明
图4
- 结论：求证：AE = DE。
- 证明：由圆内接四边形定理得，∠AED = 180° - ∠ABC，∠ABC = ∠CDE，所以 ∠AED = ∠CDE，即 AE = DE。
模型四：圆的切线
解题要点
- 切线定理：圆的切线与半径垂直。
- 切线与弦的关系：切线与弦垂直。
举例说明
图5
- 结论：求证：直线 CM 是圆 O 的切线。
- 证明：由切线定理得，直线 CM 与半径 OM 垂直，所以直线 CM 是圆 O 的切线。
模型五：圆的半径和弦
解题要点
- 半径和弦的关系：半径和弦垂直。
- 弦的中垂线：弦的中垂线通过圆心。
举例说明
图6
- 结论：求证：P 是线段 AQ 的中点。
- 证明：由半径和弦的关系得，半径 OA 垂直于弦 AQ，所以 OP 是 AQ 的中垂线，故 P 是 AQ 的中点。
模型六：圆的弦与切线
解题要点
- 切线定理：圆的切线垂直于弦。
- 弦的切线：弦的切线通过圆心。
举例说明
图7
- 结论：求证：CH = AD。
- 证明：由切线定理得，切线 CH 垂直于弦 AD，所以 CH = AD。
模型七：圆的切线与弦
解题要点
- 切线定理：圆的切线垂直于弦。
- 弦的切线：弦的切线通过圆心。
举例说明
图8
- 结论：求证：AC² = AEAB。
- 证明：由切线定理得，切线 AE 垂直于弦 AB，所以 AC² = AEAB。
模型八：圆的弦与切线
解题要点
- 切线定理：圆的切线垂直于弦。
- 弦的切线：弦的切线通过圆心。
举例说明
图9
- 结论：求证：AC² = APAD。
- 证明：由切线定理得，切线 AP 垂直于弦 AD，所以 AC² = APAD。
通过以上八大模型题的解题技巧，相信同学们在解题过程中能够更加得心应手。当然，在实际解题过程中，还需要灵活运用各种定理和性质，不断提高自己的数学思维能力。