圆压轴题是中考数学中难度较高的一类题目，往往位于试卷的压轴位置。这类题目通常涉及圆的性质、几何图形的构造与证明等，对考生的逻辑思维和空间想象能力有较高要求。本文将揭秘圆压轴题的8大模型，并提供相应的解题技巧，帮助考生轻松应对这类题目。
模型一：弧中点的运用
解题技巧
- 识别弧中点：首先，要能够快速识别出弧的中点。
- 构造辅助线：通过构造辅助线，如弦、直径等，将问题转化为更简单的几何图形。
- 应用圆的性质：利用圆的性质，如圆周角定理、圆内接四边形性质等，解决问题。
例子
已知圆O，弧AB的中点为M，弦CD垂直于OM，求证：∠AMD=∠BMC。
解答：
- 识别弧中点：M为弧AB的中点。
- 构造辅助线：连接OA、OB、OM。
- 应用圆的性质：
- ∠AMD和∠BMC均为圆周角，且对应弧AB。
- ∠AMD和∠BMC均为直角，因为CD垂直于OM。
- 所以，∠AMD=∠BMC。
模型二：切割线互垂
解题技巧
- 识别切割线：首先，要能够识别出切割线。
- 应用切割线定理：利用切割线定理，即切割线乘积定理，解决问题。
- 构造辅助线：通过构造辅助线，如弦、直径等，简化问题。
例子
已知圆O，切线AB和CD相交于点E，求证：AB×CD=AE×ED。
解答：
- 识别切割线：AB和CD为圆O的切线。
- 应用切割线定理：AB×CD=AE×ED。
- 构造辅助线：连接OA、OB、OC、OD。
- 利用圆的性质和切割线定理，证明AB×CD=AE×ED。
模型三：双切线组合
解题技巧
- 识别双切线：首先，要能够识别出双切线。
- 应用切线定理：利用切线定理，如切线长定理、切线与半径垂直等，解决问题。
- 构造辅助线：通过构造辅助线，如弦、直径等，简化问题。
例子
已知圆O，切线AB和CD相交于点E，求证：AE=BE。
解答：
- 识别双切线：AB和CD为圆O的双切线。
- 应用切线定理：切线长定理，即切线与半径垂直。
- 构造辅助线：连接OA、OB、OC、OD。
- 利用圆的性质和切线定理，证明AE=BE。
模型四：圆内接等边三角形
解题技巧
- 识别圆内接等边三角形：首先，要能够识别出圆内接等边三角形。
- 应用圆的性质：利用圆的性质，如圆周角定理、圆内接四边形性质等，解决问题。
- 构造辅助线：通过构造辅助线，如弦、直径等，简化问题。
例子
已知圆O，圆内接等边三角形ABC，求证：∠A=60°。
解答：
- 识别圆内接等边三角形：三角形ABC为圆O的内接等边三角形。
- 应用圆的性质：
- ∠A为圆周角，对应弧BC。
- ∠A=60°，因为三角形ABC为等边三角形。
- 利用圆的性质和等边三角形的性质，证明∠A=60°。
模型五：三切线组合
解题技巧
- 识别三切线：首先，要能够识别出三切线。
- 应用切线定理：利用切线定理，如切线长定理、切线与半径垂直等，解决问题。
- 构造辅助线：通过构造辅助线，如弦、直径等，简化问题。
例子
已知圆O，切线AB、CD和EF相交于点E，求证：AB×CD×EF=AE×ED×EF。
解答：
- 识别三切线：AB、CD和EF为圆O的三切线。
- 应用切线定理：切线长定理，即切线与半径垂直。
- 构造辅助线：连接OA、OB、OC、OD、OE。
- 利用圆的性质和切线定理，证明AB×CD×EF=AE×ED×EF。
模型六：圆外一点引圆的切线和直径的垂线
解题技巧
- 识别圆外一点：首先，要能够识别出圆外一点。
- 应用切线定理：利用切线定理，如切线长定理、切线与半径垂直等，解决问题。
- 构造辅助线：通过构造辅助线，如弦、直径等，简化问题。
例子
已知圆O，圆外一点P，切线AB和CD相交于点E，求证：PE垂直于AB。
解答：
- 识别圆外一点：P为圆O的外一点。
- 应用切线定理：切线与半径垂直。
- 构造辅助线：连接OA、OB、OC、OD、PE。
- 利用圆的性质和切线定理，证明PE垂直于AB。
模型七：直径在腰上
解题技巧
- 识别直径在腰上：首先，要能够识别出直径在腰上。
- 应用圆的性质：利用圆的性质，如圆周角定理、圆内接四边形性质等，解决问题。
- 构造辅助线：通过构造辅助线，如弦、直径等，简化问题。
例子
已知圆O，直径AB，圆内接等腰三角形ABC，求证：∠ABC=90°。
解答：
- 识别直径在腰上：直径AB在等腰三角形ABC的腰上。
- 应用圆的性质：
- ∠ABC为圆周角，对应弧AB。
- ∠ABC=90°，因为直径所对的圆周角为直角。
- 利用圆的性质和等腰三角形的性质，证明∠ABC=90°。
模型八：阿氏圆模型
解题技巧
- 识别阿氏圆：首先，要能够识别出阿氏圆。
- 应用阿氏圆定理：利用阿氏圆定理，如动点轨迹、比例关系、最值问题等，解决问题。
- 构造辅助线：通过构造辅助线，如弦、直径等，简化问题。
例子
已知圆O，动点P在圆上，且OP=2，求动点P的轨迹方程。
解答：
- 识别阿氏圆：动点P的轨迹为阿氏圆。
- 应用阿氏圆定理：动点P的轨迹方程为x²+y²=4。
- 利用阿氏圆定理和圆的性质，得到动点P的轨迹方程。
通过以上8大模型的解题技巧，考生可以更好地应对圆压轴题。在备考过程中，要多做练习，熟练掌握这些模型和解题方法，提高解题能力。