圆压轴题作为中考数学中的重要题型，常常出现在试卷的倒数第二题位置，其综合性和难度较大。这类题目通常基于固定的习题模型，通过变化和扩展来考察学生对圆的性质、几何证明、计算等能力的掌握。本文将详细介绍圆压轴题的八大模型，并提供解题秘籍，帮助考生在考试中轻松应对。
一、弧中点的运用
1.1 模型描述
在圆O中，点C是弦AD的中点，弦CE与弦AB相交于点E。
1.2 解题要点
- 利用等弧所对的圆周角相等和同角或等角的余角相等，得出相关角度关系。
- 运用垂径定理和弧中点的性质，推导出弦的中垂线与弦的关系。
- 通过共边角相似，证明相似三角形，进而得出边长或角度的关系。
1.3 典例分析
【例1】（2018·湖南永州）如图，线段AB为圆O的直径，点C、E在圆O上，CD垂直于AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F。
（1）求证：CF=BF； （2）若cos∠ABE=0.6，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，圆O的半径为6，求证：直线CM是圆O的切线。
1.4 解题步骤
- 根据垂径定理，得出∠CAD=∠ABE。
- 由cos∠ABE=0.6，得出∠ABE的度数，进而求出∠CAD的度数。
- 利用勾股定理，求出CD的长度。
- 根据相似三角形的性质，得出CF=BF。
- 利用切线定理，证明直线CM是圆O的切线。
二、弦切角
2.1 模型描述
在圆O中，弦AB与切线CD相交于点D，弦AC与切线CE相交于点E。
2.2 解题要点
- 利用切线定理，得出切线与半径垂直。
- 运用勾股定理，求出弦长或半径的长度。
- 通过相似三角形的性质，推导出相关角度或边长的关系。
2.3 典例分析
【例2】（2018·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE垂直于AB，垂足为点E，DE交AC于点F，DB垂直于AC，垂足为点G。
（1）求证：AE=DE； （2）设以AD为直径的半圆交AB于点F，连接DF交AE于点G，已知CD=5，AE=8，求DF的长度。
2.4 解题步骤
- 根据切线定理，得出∠AEC=90°。
- 由勾股定理，求出AC的长度。
- 利用相似三角形的性质，得出AE=DE。
- 根据勾股定理，求出DF的长度。
三、圆周角
3.1 模型描述
在圆O中，弦AB与弦CD相交于点E，弦AC与弦BD相交于点F。
3.2 解题要点
- 利用圆周角定理，得出圆周角与圆心角的关系。
- 运用相似三角形的性质，推导出相关角度或边长的关系。
- 通过角度和边长的关系，求解几何问题。
3.3 典例分析
【例3】（2017·泸州）如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，C是弦AD的中点，弦CE垂直于AB，垂足为点E，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD。
（1）求证：P是线段AQ的中点； （2）若圆O的半径为5，求AP的长度。
3.4 解题步骤
- 根据圆周角定理，得出∠APB=∠ACB。
- 利用相似三角形的性质，得出∠APB=∠AQD。
- 根据勾股定理，求出AP的长度。
四、切线长
4.1 模型描述
在圆O中，弦AB与切线CD相交于点D，弦AC与切线CE相交于点E。
4.2 解题要点
- 利用切线定理，得出切线与半径垂直。
- 运用勾股定理，求出弦长或半径的长度。
- 通过相似三角形的性质，推导出相关角度或边长的关系。
4.3 典例分析
【例4】（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。（1）求证：AE=DE；（2）设以AD为直径的半圆交AB于点F，连接DF交AE于点G，已知CD=5，AE=8，求DF的长度。
4.4 解题步骤
- 根据切线定理，得出∠AEC=90°。
- 由勾股定理，求出AC的长度。
- 利用相似三角形的性质，得出AE=DE。
- 根据勾股定理，求出DF的长度。
五、弦切角
5.1 模型描述
在圆O中，弦AB与切线CD相交于点D，弦AC与切线CE相交于点E。
5.2 解题要点
- 利用切线定理，得出切线与半径垂直。
- 运用勾股定理，求出弦长或半径的长度。
- 通过相似三角形的性质，推导出相关角度或边长的关系。
5.3 典例分析
【例5】（2018·泸州）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE垂直于AB，垂足为点E，DE交AC于点F，DB垂直于AC，垂足为点G。
（1）求证：AE=DE； （2）设以AD为直径的半圆交AB于点F，连接DF交AE于点G，已知CD=5，AE=8，求DF的长度。
5.4 解题步骤
- 根据切线定理，得出∠AEC=90°。
- 由勾股定理，求出AC的长度。
- 利用相似三角形的性质，得出AE=DE。
- 根据勾股定理，求出DF的长度。
六、切线长
6.1 模型描述
在圆O中，弦AB与切线CD相交于点D，弦AC与切线CE相交于点E。
6.2 解题要点
- 利用切线定理，得出切线与半径垂直。
- 运用勾股定理，求出弦长或半径的长度。
- 通过相似三角形的性质，推导出相关角度或边长的关系。
6.3 典例分析
【例6】（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。（1）求证：AE=DE；（2）设以AD为直径的半圆交AB于点F，连接DF交AE于点G，已知CD=5，AE=8，求DF的长度。
6.4 解题步骤
- 根据切线定理，得出∠AEC=90°。
- 由勾股定理，求出AC的长度。
- 利用相似三角形的性质，得出AE=DE。
- 根据勾股定理，求出DF的长度。
七、切线长
7.1 模型描述
在圆O中，弦AB与切线CD相交于点D，弦AC与切线CE相交于点E。
7.2 解题要点
- 利用切线定理，得出切线与半径垂直。
- 运用勾股定理，求出弦长或半径的长度。
- 通过相似三角形的性质，推导出相关角度或边长的关系。
7.3 典例分析
【例7】（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。（1）求证：AE=DE；（2）设以AD为直径的半圆交AB于点F，连接DF交AE于点G，已知CD=5，AE=8，求DF的长度。
7.4 解题步骤
- 根据切线定理，得出∠AEC=90°。
- 由勾股定理，求出AC的长度。
- 利用相似三角形的性质，得出AE=DE。
- 根据勾股定理，求出DF的长度。
八、切线长
8.1 模型描述
在圆O中，弦AB与切线CD相交于点D，弦AC与切线CE相交于点E。
8.2 解题要点
- 利用切线定理，得出切线与半径垂直。
- 运用勾股定理，求出弦长或半径的长度。
- 通过相似三角形的性质，推导出相关角度或边长的关系。
8.3 典例分析
【例8】（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。（1）求证：AE=DE；（2）设以AD为直径的半圆交AB于点F，连接DF交AE于点G，已知CD=5，AE=8，求DF的长度。
8.4 解题步骤
- 根据切线定理，得出∠AEC=90°。
- 由勾股定理，求出AC的长度。
- 利用相似三角形的性质，得出AE=DE。
- 根据勾股定理，求出DF的长度。
总结
通过对圆压轴题八大模型的解析和例题分析，我们可以看出，这类题目主要考察学生对圆的性质、几何证明、计算等能力的掌握。在解题过程中，要熟练运用切线定理、垂径定理、相似三角形等知识，并结合勾股定理进行计算。希望本文能为考生在考试中取得优异成绩提供帮助。