引言
圆压轴题，作为中考数学中的重要题型，往往出现在试卷的压轴位置。这类题目综合性强，难度较大，但只要掌握了其中的八大模型，就能轻松应对。本讲将深入解析第八个模型——圆外一点引圆的切线和直径的垂线。
模型概述
圆外一点引圆的切线和直径的垂线模型主要涉及圆的性质、切线性质、垂径定理等知识。在解题时，我们需要熟练运用这些知识点，并结合图形特点进行分析。
模型解析
1. 模型图形
如图，点P是圆O外的一点，过点P作PA与圆O相切于点A，PO垂直于BO于点O，交AB于点C。
B
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2. 模型性质
（1）PA是圆O的切线，所以∠PAO=90°。
（2）PO垂直于BO，所以∠POB=90°。
（3）由垂径定理可知，AB是圆O的直径，所以∠AOB=90°。
3. 模型应用
例1
求证：CP=AP。
证明：
连接OA。
由模型性质（1）可知，∠PAO=90°。
由模型性质（2）可知，∠POB=90°。
由模型性质（3）可知，∠AOB=90°。
所以，∠PAO=∠POB=∠AOB。
由圆周角定理可知，∠PCA=∠PBO=∠ABO。
由等角对应定理可知，三角形PCA与三角形PBO相似。
所以，CP/PO=AP/AB。
由模型性质（2）可知，PO=BO。
由模型性质（3）可知，AB=BO。
所以，CP=AP。
例2
延长BO交圆O于点D，连结AD，过点P作PE垂直于AB于点E，找出与ΔBOC相似的三角形。
解：
连接OA。
由模型性质（1）可知，∠PAO=90°。
由模型性质（2）可知，∠POB=90°。
由模型性质（3）可知，∠AOB=90°。
所以，∠PAO=∠POB=∠AOB。
由圆周角定理可知，∠PCA=∠PBO=∠ABO。
由等角对应定理可知，三角形PCA与三角形PBO相似。
所以，ΔPCA∽ΔPBO。
由模型性质（2）可知，PO=BO。
由模型性质（3）可知，AB=BO。
所以，ΔPCA∽ΔBOC。
所以，ΔPCA与ΔBOC相似。
总结
本讲对圆外一点引圆的切线和直径的垂线模型进行了详细解析，并通过实例展示了该模型的应用。掌握了这一模型，相信大家在解决圆压轴题时会更加得心应手。