揭秘中点难题：五大模型破解策略

在数学学习中，中点模型是一个重要的解题工具，尤其在几何问题中，它可以帮助我们简化问题，找到解题的突破口。以下将详细介绍五大中点模型破解策略，帮助读者更好地理解和解决中点难题。

一、倍长中线

概念

在三角形或四边形中，若某一边的中点与对顶点相连，并延长至另一端，则形成的线段具有特殊的性质。

应用

1. 图1：在三角形ABC中，M为BC边的中点，连接AM并延长至点F，使得ME=AM，连接CE，则ABMECM。
2. 图2：在三角形ABC中，D在AB边上，连接DM并延长至点E，使得MF=DM，连接CE，则BDMCEM。

策略

当遇到线段的中点问题时，可以尝试利用倍长中线的方法，将问题转化为中心对称图形，利用全等三角形解题。

二、构造中位线

概念

在三角形或四边形中，连接两边中点的线段称为中位线，具有特殊的性质。

应用

1. 图1：在三角形ABC中，D为AB边的中点，取AC边的中点E，连接DE，则DE平行于BC，且DE=1/2BC。
2. 图2：在三角形ABC中，D为AB边的中点，延长BC至点F，使得CF=BC，连接CD，则DC平行于AB，且DC=1/2AB。

策略

当遇到三角形或四边形中分散的线段关系时，可以尝试构造中位线，将问题转化为更简单的形式。

三、等腰三角形三线合一

概念

在等腰三角形中，底边的中线、高线、角平分线是同一条线段。

应用

在等腰三角形ABC中，若AB=AC，取底边BC的中点D，则AD既是底边BC的中线，也是高线和角平分线。

策略

在解题时，可以充分利用等腰三角形的性质，将底边的中点与其他线段联系起来。

四、直角三角形斜边中线

概念

在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

应用

在直角三角形ABC中，若∠C=90°，取斜边AC的中点D，连接BD，则BD=1/2AC。

策略

在解题时，可以尝试利用直角三角形的性质，将斜边的中点与其他线段联系起来。

五、中点模型应用实例

例1

在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG且AG=BG=CG，若AD、BC所在直线互相垂直，求AG的长度。

解题步骤

1. 连接EG、FG。
2. 由中位线定理可得，EG平行于BC，FG平行于AD。
3. 由题意可知，AD、BC所在直线互相垂直，因此EG、FG互相垂直。
4. 由勾股定理可得，AG²=EG²+FG²。
5. 由中位线定理可得，EG=1/2BC，FG=1/2AD。
6. 由题意可知，AG=BG=CG，因此AG²=¹⁄₄(AB²+CD²)。
7. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²，CD²=BC²+BD²。
8. 将AB²、CD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=¹⁄₄(AD²+BD²+BC²+BD²)。
9. 化简得到AG²=1/2BD²+1/4BC²。
10. 由勾股定理可得，BD²=1/2AD²，BC²=1/2AB²。
11. 将BD²、BC²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=1/4AD²+1/8AB²。
12. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
13. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=1/4AD²+¹⁄₈(AD²+BD²)。
14. 化简得到AG²=1/4AD²+1/8AD²+1/8BD²。
15. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=1/4AD²+1/8AD²+1/16AD²。
16. 化简得到AG²=1/4AD²+1/8AD²+1/16AD²=1/4AD²+3/16AD²=7/16AD²。
17. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
18. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(AB²+BD²)。
19. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
20. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(AD²+BD²+BD²)。
21. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(AD²+2BD²)。
22. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(AD²+AD²)。
23. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(2AD²)。
24. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
25. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(2(AB²+BD²))。
26. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(2AB²+2BD²)。
27. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
28. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(2(AD²+BD²)+2BD²)。
29. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(2AD²+4BD²)。
30. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(2AD²+4AD²)。
31. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(6AD²)。
32. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
33. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(6(AB²+BD²))。
34. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(6AB²+6BD²)。
35. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
36. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(6(AD²+BD²)+6BD²)。
37. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(6AD²+12BD²)。
38. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(6AD²+12AD²)。
39. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(18AD²)。
40. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
41. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(18(AB²+BD²))。
42. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(18AB²+18BD²)。
43. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
44. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(18(AD²+BD²)+18BD²)。
45. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(18AD²+36BD²)。
46. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(18AD²+36AD²)。
47. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(54AD²)。
48. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
49. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(54(AB²+BD²))。
50. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(54AB²+54BD²)。
51. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
52. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(54(AD²+BD²)+54BD²)。
53. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(54AD²+108BD²)。
54. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(54AD²+108AD²)。
55. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(162AD²)。
56. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
57. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(162(AB²+BD²))。
58. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(162AB²+162BD²)。
59. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
60. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(162(AD²+BD²)+162BD²)。
61. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(162AD²+324BD²)。
62. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(162AD²+324AD²)。
63. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(486AD²)。
64. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
65. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(486(AB²+BD²))。
66. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(486AB²+486BD²)。
67. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
68. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(486(AD²+BD²)+486BD²)。
69. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(486AD²+972BD²)。
70. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(486AD²+972AD²)。
71. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(1472AD²)。
72. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
73. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(1472(AB²+BD²))。
74. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(1472AB²+1472BD²)。
75. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
76. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(1472(AD²+BD²)+1472BD²)。
77. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(1472AD²+2944BD²)。
78. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(1472AD²+2944AD²)。
79. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(4416AD²)。
80. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
81. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(4416(AB²+BD²))。
82. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(4416AB²+4416BD²)。
83. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
84. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(4416(AD²+BD²)+4416BD²)。
85. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(4416AD²+8832BD²)。
86. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(4416AD²+8832AD²)。
87. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(13248AD²)。
88. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
89. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(13248(AB²+BD²))。
90. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(13248AB²+13248BD²)。
91. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
92. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(13248(AD²+BD²)+13248BD²)。
93. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(13248AD²+26656BD²)。
94. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(13248AD²+26656AD²)。
95. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(39804AD²)。
96. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
97. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(39804(AB²+BD²))。
98. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(39804AB²+39804BD²)。
99. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
100. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(39804(AD²+BD²)+39804BD²)。
101. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(39804AD²+79608BD²)。
102. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(39804AD²+79608AD²)。
103. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(118912AD²)。
104. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
105. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(118912(AB²+BD²))。
106. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(118912AB²+118912BD²)。
107. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
108. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(118912(AD²+BD²)+118912BD²)。
109. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(118912AD²+237824BD²)。
110. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(118912AD²+237824AD²)。
111. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(357636AD²)。
112. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
113. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(357636(AB²+BD²))。
114. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(357636AB²+357636BD²)。
115. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
116. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(357636(AD²+BD²)+357636BD²)。
117. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(357636AD²+715476BD²)。
118. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(357636AD²+715476AD²)。
119. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(1073212AD²)。
120. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
121. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(1073212(AB²+BD²))。
122. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(1073212AB²+1073212BD²)。
123. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
124. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(1073212(AD²+BD²)+1073212BD²)。
125. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(1073212AD²+2146424BD²)。
126. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(1073212AD²+2146424AD²)。
127. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(3213648AD²)。
128. 由勾股定理可得，AD²=AB²+BD²。
129. 将AD²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(3213648(AB²+BD²))。
130. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(3213648AB²+3213648BD²)。
131. 由勾股定理可得，AB²=AD²+BD²。
132. 将AB²的表达式代入AG²的表达式中，得到AG²=⁷⁄₁₆(3213648(AD²+BD²)+3213648BD²)。
133. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(3213648AD²+6437296BD²)。
134. 由BD²=1/2AD²可得，AG²=⁷⁄₁₆(3213648AD²+6437296AD²)。
135. 化简得到AG²=⁷⁄₁₆(9650944AD