几何五大模型是小学奥数中非常重要的知识点,它们不仅帮助孩子们更好地理解几何概念,还能通过实际应用解决各种问题。以下是几何五大模型的详细解析及例题说明。
一、等积变换模型
概述
等积变换模型主要研究三角形面积与底和高的关系。该模型包括以下结论:
- 等底等高的两个三角形面积相等;
- 两个三角形高相等,面积之比等于底之比;
- 两个三角形底相等,面积之比等于高之比;
- 在一组平行线之间的等积变形;
- 等底等高的两个平行四边形面积相等;
- 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
- 两个平行四边形高相等,面积之比等于它们的底之比;
- 两个平行四边形底相等,面积之比等于它们的高之比。
例题解析
例1:如图,三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求三角形DEF的面积。
解析:连接CE,如图。AE=3AB,所以S△AEC=3S△ABC=3×24=72。又因为BD=2BC,所以S△BDE=2S△BCE=2×(72⁄3)=48。因此,S△DEF=S△ABC-S△BDE=24-48=-24。由于面积不能为负数,故三角形DEF的面积为0。
二、鸟头定理(共角定理)模型
概述
鸟头定理(共角定理)模型主要研究共角三角形的面积比。该模型包括以下结论:
- 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形;
- 共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
例题解析
例1:如图,平行四边形ABCD,BE∥AB、CF∥BC、GD∥DC、HA∥AD,平行四边形ABCD的面积为2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
解析:连接BE,根据等积变换模型知,S△ADE:S△ABE=AD:AB、S△ABE:S△CBE=AE:CE,所以S△ABE:S△ABC=S△ABE:(S△ABE+S△CBE)AE:AC,因此S△ABE:S△ABC=S△ABE:(S△ABE+S△CBE)AE:AC=1:2。由于平行四边形ABCD的面积为2,故四边形EFGH的面积为1。
三、蝴蝶定理模型
概述
蝴蝶定理模型主要研究任意四边形中的比例关系。该模型包括以下结论:
- 任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理):S1:S2:S3:S4 或 S1:S3:S2:S4;
- 梯形中比例关系(梯形蝴蝶定理):S1:S3:S2:S4=a^2b^2:a^2b^2ab:abab;
- S的对应份数为(a^2b^2)。
例题解析
例1:如图,正六边形面积为1,那么阴影部分面积为多少?
解析:将正六边形分成6个等边三角形,每个三角形的面积为1/6。阴影部分由3个等边三角形组成,故阴影部分的面积为3×(1⁄6)=1/2。
四、相似三角形性质
概述
相似三角形性质主要研究相似三角形的判定和性质。该模型包括以下结论:
- 相似的基本概念:两个三角形对应边成比例,对应角相等;
- 判断相似的方法:
- 两个三角形若有两个角对应相等,则这两个三角形相似;
- 两个三角形若有两条边对应成比例,且这两组对应边所夹的角相等,则两个三角形相似。
例题解析
例1:如图,正方形ABCD的面积为120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,求四边形BGHF的面积。
解析:连接EF,由于E、F分别为AB、BC的中点,故EF平行于AD,且EF=AD/2。由于正方形ABCD的面积为120平方厘米,故AD=√120=10√3厘米。因此,EF=5√3厘米。由于四边形BGHF为平行四边形,故S四边形BGHF=EF×AD=5√3×10√3=150平方厘米。
五、全等图形
概述
全等图形主要研究全等三角形的判定和性质。该模型包括以下结论:
- 全等三角形的判定:
- SSS(边边边):三边对应相等的两个三角形全等;
- SAS(边角边):两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;
- ASA(角边角):两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;
- AAS(角角边):两角及一边对应相等的两个三角形全等;
- HL(斜边直角边):斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 全等三角形的性质:
- 对应边相等;
- 对应角相等;
- 对应高相等;
- 对应中线相等;
- 对应角平分线相等。
例题解析
例1:如图,在△ABC中,BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC,求证:△ABD≌△CBE。
解析:连接BE,由于BD=2DA,故S△ABD=2S△ADB。同理,S△CBE=2S△CBE。又因为CE=2EB,故S△ABD=S△CBE。由于BD=CE,故△ABD≌△CBE(SAS)。