在奥数学习中，几何与代数是两个重要的分支，它们相互交织，构成了许多奥数难题的核心。以下是五大核心模型，它们不仅能够帮助学生掌握几何与代数的知识，还能提高解决复杂问题的能力。
一、等积变换模型
等积变换模型是几何与代数中一个基础而重要的模型。它主要涉及三角形面积的计算和变换。
1. 等底等高的两个三角形面积相等
公式：( S_1 = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} )
2. 两个三角形高相等，面积比等于底之比
公式：( \frac{S_1}{S_2} = \frac{a}{b} )
3. 两个三角形底相等，面积比等于高之比
公式：( \frac{S_1}{S_2} = \frac{h_1}{h_2} )
4. 在一组平行线之间的等积变形
公式：( S{ACD} = S{BCD} )
例题
已知三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
解析：由于D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，因此三角形DEF与三角形ABC相似，且相似比为1:2。因此，三角形DEF的面积为三角形ABC面积的一半，即12。
二、鸟头（共角）定理模型
鸟头定理，也称为共角定理，主要涉及共角三角形的面积比。
1. 共角三角形的定义
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
2. 共角三角形的面积比
公式：( \frac{S_1}{S_2} = \frac{a \times c}{b \times d} )
例题
在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，则有：( \frac{S{ABC}}{S{ADE}} = \frac{AB \times AC}{AD \times AE} )
解析：连接BE，根据等积变换模型知，( \frac{S{ADE}}{S{ABE}} = \frac{AD}{AB} )，( \frac{S{ABE}}{S{CBE}} = \frac{AE}{AC} )，所以 ( \frac{S{ABC}}{S{ABE}} = \frac{AB \times AC}{AD \times AE} )。
三、蝴蝶定理模型
蝴蝶定理，也称为任意四边形中的比例关系，主要涉及四边形的面积比。
1. 蝴蝶定理
公式：( \frac{S_1}{S_2} = \frac{S_3}{S_4} )
例题
任意四边形ABCD，E、F、G、H是ABCD的四个顶点，则有：( \frac{S{ABCD}}{S{EFGH}} = \frac{S{ABCD}}{S{EFGH}} )
解析：根据蝴蝶定理，( \frac{S{ABCD}}{S{EFGH}} = \frac{S{ABCD}}{S{EFGH}} )。
四、相似模型
相似模型是几何与代数中一个重要的模型，主要涉及相似三角形的性质。
1. 相似三角形的定义
两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的性质
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的周长比等于相似比。
例题
正三角形ABC的边长为10，求相似比为1:2的正三角形DEF的周长。
解析：相似比为1:2，因此相似三角形DEF的边长为5。相似三角形的周长比等于相似比，因此相似三角形DEF的周长为15。
五、夹角模型
夹角模型是几何与代数中一个重要的模型，主要涉及夹角的计算和性质。
1. 夹角的定义
夹角是指两条线段或射线在它们的交点处形成的角。
2. 夹角的性质
夹角的度数等于夹角的两条线段的夹角。
夹角的补角等于180度减去夹角的度数。
例题
在三角形ABC中，角A的度数为60度，求角B的度数。
解析：三角形内角和为180度，因此角B的度数为120度。