1. 引言
不等式是数学中一个重要的分支，它在解决实际问题中扮演着关键角色。本文将介绍十大不等式模型，并通过实战案例解析这些模型的应用，帮助读者深入理解不等式的奥秘。
2. 十大不等式模型
2.1 最小值模型
定义：在满足一系列不等式约束条件下，求目标函数的最小值。
案例：某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件10件或乙种零件8件。每加工一个甲种零件可获利1元，每加工一个乙种零件可获利1.5元。若要使车间每天获利不低于100元，问至少要派多少人加工乙种零件？
解析：设加工乙种零件的人数为x，则加工甲种零件的人数为10-x。根据题意，可列不等式：
[ 1.5x + (10 - x) \times 1 \geq 100 ]
解得：x ≥ 20，即至少要派20人加工乙种零件。
2.2 最大值模型
定义：在满足一系列不等式约束条件下，求目标函数的最大值。
案例：某次数学测验，共有100题，答对一题得分5分，答错一题倒扣分，不答则不扣分。某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在500分以上？
解析：设答对的题数为x，则答错的题数为100-x。根据题意，可列不等式：
[ 5x - (100 - x) \times 5 \geq 500 ]
解得：x ≥ 70，即至少答对70题。
2.3 中间值模型
定义：在满足一系列不等式约束条件下，求目标函数的中间值。
案例：某次数学竞赛，共有100名学生参加。已知前10名学生的平均分为90分，后10名学生的平均分为60分，求所有参赛学生的平均分。
解析：设所有参赛学生的平均分为x，则前10名学生的总分为900分，后10名学生的总分为600分。根据题意，可列不等式：
[ 900 + 600 \geq 100x ]
解得：x ≥ 75，即所有参赛学生的平均分不低于75分。
2.4 分配模型
定义：在满足一系列不等式约束条件下，求决策变量的分配方案。
案例：现有若干本连环画册分给小朋友，如果每人分8本，那么不够分；现在每人分7本，还多10本。则小朋友人数最少有多少人？
解析：设小朋友人数为x，画册数量为y。根据题意，可列不等式：
[ 8x < y ] [ 7x + 10 = y ]
解得：x ≥ 11，即小朋友人数最少为11人。
2.5 成本模型
定义：在满足一系列不等式约束条件下，求最小成本。
案例：某公司到果园基地购买某种水果，慰问医务工作者。果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案：甲方案，每千克9元，由基地送货上门；乙方案，每千克8元，由公司自行运输。当购买量不超过3000千克时，使用哪种方案更合算？
解析：设购买量为x千克。根据题意，可列不等式：
[ 9x \leq 3000 \times 8 ]
解得：x ≤ 3000，即购买量不超过3000千克时，使用乙方案更合算。
2.6 利润模型
定义：在满足一系列不等式约束条件下，求最大利润。
案例：某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1个甲产品可获利2元，每生产1个乙产品可获利3元。已知工厂每天可生产甲产品100个，乙产品80个。若要使工厂每天获利不低于800元，问应如何安排生产？
解析：设生产甲产品x个，乙产品y个。根据题意，可列不等式：
[ 2x + 3y \geq 800 ] [ x \leq 100 ] [ y \leq 80 ]
解得：x = 50，y = 20，即生产甲产品50个，乙产品20个。
2.7 时间模型
定义：在满足一系列不等式约束条件下，求最短时间。
案例：某人骑一辆电动自行车，如果行驶速度增加5km/h，那么2小时所行驶的路程不少于原来速度2.5小时所行驶的路程。他原来行驶的速度最大是多少？
解析：设原来行驶速度为x千米/时。根据题意，可列不等式：
[ 2(x + 5) \geq 2.5x ]
解得：x ≤ 20，即原来行驶速度最大为20千米/时。
2.8 优化模型
定义：在满足一系列不等式约束条件下，求目标函数的优化解。
案例：某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1个甲产品可获利2元，每生产1个乙产品可获利3元。已知工厂每天可生产甲产品100个，乙产品80个。若要使工厂每天获利不低于800元，问应如何安排生产？
解析：设生产甲产品x个，乙产品y个。根据题意，可列不等式：
[ 2x + 3y \geq 800 ] [ x \leq 100 ] [ y \leq 80 ]
求解该优化模型，可得：x = 50，y = 20，即生产甲产品50个，乙产品20个。
2.9 比较大小模型
定义：在满足一系列不等式约束条件下，比较两个数的大小。
案例：函数的定义域为R，f(1) < 1，对任意x ∈ R，f(x) < 3，则f(x) < 3x - 4的解集为( )
A. (1, 1) B. (1, +∞) C. (-∞, 1) D. (-∞, +∞)
解析：构造抽象函数模型，抽象函数f(x)，观察函数不等式f(x) < 3x - 4，等价于f(x) - (3x - 4) < 0，构造抽象函数模型F(x) = f(x) - 3x + 4，有F(x) = f(x) - 3x + 4，则F(x) < 0，所以F(x)在R上单调递增，又因为F(1) = f(1) - 3(1) + 4 < 0，则f(x) < 3x - 4 f(x) - 3x + 4 < 0 F(x) < 0，于是x > 1，故选B。
2.10 应用模型
定义：将不等式模型应用于实际问题。
案例：某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1个甲产品可获利2元，每生产1个乙产品可获利3元。已知工厂每天可生产甲产品100个，乙产品80个。若要使工厂每天获利不低于800元，问应如何安排生产？
解析：设生产甲产品x个，乙产品y个。根据题意，可列不等式：
[ 2x + 3y \geq 800 ] [ x \leq 100 ] [ y \leq 80 ]
求解该应用模型，可得：x = 50，y = 20，即生产甲产品50个，乙产品20个。
3. 总结
本文介绍了十大不等式模型及其在实战中的应用。通过这些模型，我们可以解决各种实际问题，提高我们的数学思维能力和解决问题的能力。在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的模型，并对其进行求解。