破解将军饮马难题：五大模型深度解析

将军饮马模型是初中数学几何中的一个重要模型，它起源于古代将领骑马饮水的问题，后来被抽象为数学问题，成为解决线段最值问题的一种有效方法。以下是将军饮马模型的五大基本模型及其深度解析。

模型一：两定交点型

知识点归纳

在直线l上求作一点P，使P到直线l异侧两点A、B的距离之和最小。

方法原理

1. 两点之间，线段最短；
2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
4. 垂线段最短。

解题步骤

1. 连接AB，与直线l交点即为点P；
2. 根据模型原理，AP + PB的最小值即为AB的长度。

例子

如图1，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P APB最小。

模型二：两定一动型

知识点归纳

在直线l上求作一点P，使P到直线l同侧两点A、B的距离之和最小。

方法原理

1. 两点之间，线段最短；
2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
4. 垂线段最短。

解题步骤

1. 作点A关于直线l的对称点A’；
2. 连接A’B，与直线l的交点即为点P；
3. 根据模型原理，AP + PB的最小值即为A’B的长度。

例子

如图2，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P APB最小。

模型三：一定两动型

知识点归纳

点P是MON内的一点，分别在OM、ON上作点A、B，使P AB的周长最小。

方法原理

1. 两点之间，线段最短；
2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
4. 垂线段最短。

解题步骤

1. 在OM上作点A关于ON的对称点A’；
2. 在ON上作点B关于OM的对称点B’；
3. 连接A’B’，与OM、ON交点即为点P；
4. 根据模型原理，AP + PB的最小值即为A’B’的长度。

例子

如图3，点P是MON内的一点，分别在OM、ON上作点A、B，使P AB的周长最小。

模型四：两定两动型

知识点归纳

点P、Q为MON内的两点，分别在OM、ON上作点A、B，使四边形P AQB的周长最小。

方法原理

1. 两点之间，线段最短；
2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
4. 垂线段最短。

解题步骤

1. 在OM上作点A关于ON的对称点A’；
2. 在ON上作点B关于OM的对称点B’；
3. 连接A’B’，与OM、ON交点即为点P、Q；
4. 根据模型原理，AP + PQ + QB的最小值即为A’B’的长度。

例子

如图4，点P、Q为MON内的两点，分别在OM、ON上作点A、B，使四边形P AQB的周长最小。

模型五：一定两动（垂线段最短）型

知识点归纳

点A是MON外的一点，在射线ON上作点P，使P到射线OM的距离之和最小。

方法原理

1. 两点之间，线段最短；
2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
4. 垂线段最短。

解题步骤

1. 作点A关于射线ON的对称点A’；
2. 连接A’P，与射线ON的交点即为点P；
3. 根据模型原理，AP + PO的最小值即为A’P的长度。

例子

如图5，点A是MON外的一点，在射线ON上作点P，使P到射线OM的距离之和最小。

通过以上五大模型的深度解析，我们可以更好地理解和掌握将军饮马模型，从而在解决线段最值问题时更加得心应手。