在几何学中，角平分线是一个重要的概念，它不仅有助于我们理解角和三角形的基本性质，而且在解决各种几何问题时扮演着关键角色。本文将深入解析角平分线的10大模型，帮助读者更好地掌握这一几何奥秘。
模型一：角平分线垂两边
模型解析： 当一条角平分线从一个角的顶点出发，垂直于角的两边时，可以构造出等腰三角形，从而为证明线段相等、角相等和三角形全等创造条件。
例题： 在三角形ABC中，角A的角平分线AD垂直于BC，求证AB=AC。
证明：
- 由于AD是角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。
- 由于AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。
- 在ΔABD和ΔACD中，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，AD=AD（公共边）。
- 由SAS全等条件，ΔABD≌ΔACD。
- 因此，AB=AC。
模型二：角平分线垂中间
模型解析： 当角平分线垂直于角的中间时，可以构造出等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明。
例题： 在三角形ABC中，角A的角平分线AD垂直于BC的中点M，求证AB=AC。
证明：
- 由于AD是角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。
- 由于AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。
- 在ΔABD和ΔACD中，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，AD=AD（公共边）。
- 由SAS全等条件，ΔABD≌ΔACD。
- 因此，AB=AC。
模型三：角平分线平行线
模型解析： 当角平分线与角的一边平行时，可以构造出等腰三角形，为证明结论提供更多条件。
例题： 在三角形ABC中，角A的角平分线AD平行于BC，求证AB=AC。
证明：
- 由于AD是角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。
- 由于AD平行于BC，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD。
- 在ΔABD和ΔACD中，∠BAD=∠CAD，∠BAC=∠BAC（公共角）。
- 由AAS全等条件，ΔABD≌ΔACD。
- 因此，AB=AC。
模型四：利用角平分线作对称
模型解析： 利用角平分线的对称性，可以在角的两边构造对称全等三角形，从而得到对应边、对应角相等。
例题： 在三角形ABC中，角A的角平分线AD将角BAC对称，求证AB=AC。
证明：
- 由于AD是角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。
- 由于AD是对称轴，所以ΔABD≌ΔACD。
- 因此，AB=AC。
模型五：内外角模型
模型解析： 当角平分线将一个角分成两个内角和一个外角时，可以利用内外角的关系进行证明。
例题： 在三角形ABC中，角A的角平分线AD将角BAC分成∠BAD和∠CAD，求证∠BAD+∠CAD=∠BAC。
证明：
- 由于AD是角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。
- 因此，∠BAD+∠CAD=2∠BAD。
- 由于∠BAD+∠CAD+∠BAC=180°（三角形内角和定理），所以2∠BAD+∠BAC=180°。
- 因此，∠BAD+∠CAD=∠BAC。
模型六：角平分线与等腰三角形
模型解析： 当角平分线与等腰三角形的顶点重合时，可以利用等腰三角形的性质进行证明。
例题： 在等腰三角形ABC中，角A的角平分线AD与底边BC相交于点D，求证AD=BD。
证明：
- 由于AB=AC，所以∠BAD=∠CAD。
- 由于AD是角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。
- 因此，BD=AD。
模型七：角平分线与平行线
模型解析： 当角平分线与三角形的一边平行时，可以利用平行线的性质进行证明。
例题： 在三角形ABC中，角A的角平分线AD平行于BC，求证∠BAC=∠BAD+∠CAD。
证明：
- 由于AD是角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。
- 由于AD平行于BC，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD。
- 因此，∠BAC=∠BAD+∠CAD。
模型八：角平分线与中位线
模型解析： 当角平分线与三角形的中位线相交时，可以利用中位线的性质进行证明。
例题： 在三角形ABC中，角A的角平分线AD与BC的中位线DE相交于点F，求证AF=FD。
证明：
- 由于DE是BC的中位线，所以DE=1/2BC。
- 由于AD是角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。
- 在ΔABD和ΔACD中，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD（公共边）。
- 由SAS全等条件，ΔABD≌ΔACD。
- 因此，AF=FD。
模型九：角平分线与垂线
模型解析： 当角平分线与三角形的高相交时，可以利用垂线的性质进行证明。
例题： 在三角形ABC中，角A的角平分线AD与BC的高AH相交于点G，求证AG=GH。
证明：
- 由于AH是BC的高，所以∠AHB=∠AHC=90°。
- 由于AD是角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。
- 在ΔABD和ΔACD中，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD（公共边）。
- 由SAS全等条件，ΔABD≌ΔACD。
- 因此，AG=GH。
模型十：角平分线与切线
模型解析： 当角平分线与三角形的切线相交时，可以利用切线的性质进行证明。
例题： 在三角形ABC中，角A的角平分线AD与BC的切线AT相交于点T，求证AT=TD。
证明：
- 由于AT是BC的切线，所以∠BAT=∠CAT=90°。
- 由于AD是角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD。
- 在ΔABD和ΔACD中，∠BAD=∠CAD，∠BAT=∠CAT=90°，AD=AD（公共边）。
- 由SAS全等条件，ΔABD≌ΔACD。
- 因此，AT=TD。
通过以上10大模型的深入解析，相信读者对角平分线的应用有了更全面的理解。在实际解题过程中，灵活运用这些模型，将有助于解决各种几何问题。