引言
在几何学中，角平分线是一个重要的概念，它将一个角平分为两个相等的角。角平分线不仅具有独特的性质，而且还能在解决几何问题时起到关键作用。本文将详细介绍角平分线的四大模型，并分析如何运用这些模型破解难题。
模型一：角平分线上的点向两边作垂线
模型分析
在这个模型中，角平分线上的点到角的两边的距离相等。这一性质为解决与边相等、角相等、三角形全等相关的问题提供了条件。
模型实例
实例一：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，BC=6cm，BD=4cm。求点D到直线AB的距离。
- 解答：作DE⊥AB于点E，由于AD是∠BAC的平分线，CD=DE。因为BC=6cm，BD=4cm，所以DE=2cm，即点D到直线AB的距离是2cm。
实例二：已知∠1=∠2，求证：AP平分∠BAC。
- 证明：过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E。由于∠1=∠2，PD=PE，AP⊥AB，PE⊥AC，因此AP平分∠BAC。
模型二：截取构造对称全等
模型分析
在这个模型中，利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
模型实例
实例一：在三角形ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点。比较PB和PC与AB和AC的大小，并说明理由。
- 解答：由于AD是∠BAC的外角平分线，∠PAD=∠PDA。根据对称性，△PAB≌△PCA，因此PB=PC，AB=AC。
实例二：在三角形ABC中，AD是∠BAC的内角平分线，其他条件不变。比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。
- 解答：同理，△PAB≌△PCA，PC-PB=AC-AB。
模型三：角平分线垂线构造等腰三角形
模型分析
在这个模型中，构造等腰三角形可以利用等腰三角形的三线合一，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
模型实例
实例一：在三角形ABC中，P是MO的平分线上一点，AP⊥OP于点P，延长AP至点B。
- 结论：△AOB是等腰三角形。
实例二：在三角形ABC中，P是MO的平分线上一点，AP⊥OP于点P，延长AP至点B，BP=BO。
- 结论：△AOB是等腰三角形。
模型四：角平分线平行线
模型分析
在这个模型中，角平分线平行时，常过角平分线上一点作角一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件。
模型实例
实例一：在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠BAD=∠BCD。
- 证明：作DE⊥BC于点E，由于BD平分∠ABC，∠ABD=∠CBD。因为AD=DC，所以△ABD≌△CBD，∠BAD=∠BCD。
实例二：在三角形ABC中，外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAP。
- 解答：作PN⊥BD于点N，作PF⊥BA于点F。由于CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∠BPC=40°，所以∠CAP=40°。
总结
通过掌握角平分线的四大模型，我们可以更轻松地解决与角平分线相关的几何问题。在解题过程中，我们需要注意观察题目条件，灵活运用各种模型，以找到解题的突破口。