在立体几何中，求解几何体的外接球是一个常见的课题。外接球是指一个球体，其球面恰好与多面体的所有顶点相切。掌握外接球的相关知识对于理解和解决立体几何问题至关重要。以下是五种常见的求解外接球的模型：
模型一：补长方体或正方体
对于具有以下特点的四面体：
- 每个面均为全等三角形；
- 对棱长相等；
- 对棱中点的连线是这两条对棱的公垂线。
可以通过补成长方体或正方体的方法求解外接球半径。具体步骤如下：
- 找出三棱锥所在长方体的长宽高（a，b，c）；
- 利用公式 ( R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2} ) 求出长方体的外接球半径，即为所求几何体的外接球半径。
模型二：墙角模型
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法（构造长方体）解决外接球的直径等于长方体的体对角线长。
具体步骤如下：
- 找出三棱锥所在长方体的长宽高（a，b，c）；
- 利用公式 ( R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2} ) 求出长方体的外接球半径，即为所求几何体的外接球半径。
模型三：汉堡模型
汉堡模型适用于直棱柱和圆柱。具体步骤如下：
- 确定球心O的位置，是的外心，则 ( R = \frac{a}{2} )；
- 算出小圆的半径 ( r )；
- 利用勾股定理 ( R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} ) 求出外接球半径。
模型四：切瓜模型
切瓜模型适用于两个大小圆面互相垂直且交于小圆直、正弦定理求大圆直径的情况。具体步骤如下：
- 确定球心O的位置；
- 利用勾股定理或在中正弦定理求解大圆直径；
- 求出外接球半径。
模型五：斗笠模型
斗笠模型适用于正四棱锥。具体步骤如下：
- 找出正四棱锥的底面边长和各棱长；
- 利用公式 ( R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2} ) 求出外接球半径。
以上五种模型是求解立体几何外接球的常用方法。在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的模型进行求解。