平面几何作为数学的基础部分，其五大模型是解决各种几何问题的关键。这些模型不仅涵盖了平面几何的基本概念，还揭示了几何世界中的许多奥秘。以下将详细介绍这五大模型，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、等积变换模型
概念
等积变换模型是指通过等积变形，将一个图形的面积或形状转换为另一个图形的过程。这种变形包括平行线、相似三角形、相似四边形等。
应用
- 相似三角形：若两个三角形相似，则它们的面积比等于相似比的平方。
- 相似四边形：若两个四边形相似，则它们的面积比等于相似比的平方。
例题
在三角形ABC中，AD=2DB，若三角形ABC的面积为6平方厘米，求三角形ABD的面积。
解答：由于AD=2DB，三角形ABD和ABC相似，相似比为1:2。因此，三角形ABD的面积为三角形ABC面积的1/4，即1.5平方厘米。
二、共角定理（鸟头定理）
概念
共角定理是指两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角的两夹边乘积之比。
应用
- 三角形面积比：若两个三角形共角，则它们的面积比等于对应角的两夹边乘积之比。
- 四边形面积比：若两个四边形共角，则它们的面积比等于对应角的两夹边乘积之比。
例题
在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，三角形ADO的面积为5平方厘米，三角形DOC的面积为4平方厘米，求三角形BOC的面积。
解答：由于三角形ADO和DOC共角，且AO=OC，因此三角形ADO和DOC的面积比等于AD和DC的比，即5:4。设三角形BOC的面积为x平方厘米，则x/5=4/4，解得x=5平方厘米。
三、蝶形定理
概念
蝶形定理是指任意四边形中的比例关系。它包括两个部分：任意四边形中的比例关系和梯形中的比例关系。
应用
- 任意四边形中的比例关系：若四边形ABCD中，AB/BC=CD/DA，则四边形ABCD是平行四边形。
- 梯形中的比例关系：若梯形ABCD中，AD/BC=AB/CD，则四边形ABCD是等腰梯形。
例题
在梯形ABCD中，AD=2BC，AB=CD，求证：四边形ABCD是等腰梯形。
解答：由于AD=2BC，AB=CD，因此AB/BC=CD/DA。由蝶形定理可知，四边形ABCD是等腰梯形。
四、相似模型
概念
相似模型是指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大或缩小，得到另一个图形。
应用
- 相似三角形：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，且这个比例等于它们的相似比。
- 相似四边形：相似四边形的一切对应线段的长度成比例，且这个比例等于它们的相似比。
例题
在三角形ABC中，AB=AC，求证：三角形ABC是等腰三角形。
解答：由于AB=AC，因此三角形ABC是等腰三角形。
五、共边模型
概念
共边模型是指两个图形共享一条边。
应用
- 三角形面积比：若两个三角形共边，则它们的面积比等于对应边的比。
- 四边形面积比：若两个四边形共边，则它们的面积比等于对应边的比。
例题
在四边形ABCD中，AD=BC，求证：三角形ADC和三角形BDC的面积比等于AD和BC的比。
解答：由于AD=BC，因此三角形ADC和三角形BDC共边。由共边模型可知，三角形ADC和三角形BDC的面积比等于AD和BC的比。
总结，平面几何五大模型是解决各种几何问题的关键。掌握这些模型，将有助于我们更好地理解几何世界，并解决实际问题。