在空间几何中，外接球问题是一个重要的考点，涉及到球的半径和球心的确定。通过掌握七大模型，我们可以轻松解决外接球问题。以下是对这七大模型的详细解析：
模型一：墙角模型
特点：适用于具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的几何体。
解题步骤：
- 将几何体补形为长方体。
- 长方体的外接球即为原几何体的外接球。
- 球心位于长方体的体对角线中点。
- 利用勾股定理计算球的半径。
例题：
已知一个三棱锥的底面是直角三角形，侧棱长均为3，求其外接球的半径。
解答：
- 将三棱锥补形为长方体。
- 长方体的外接球即为原三棱锥的外接球。
- 球心位于长方体的体对角线中点，即球心到长方体三个面的距离相等。
- 利用勾股定理计算球的半径：( R = \frac{3\sqrt{2}}{2} )。
模型二：汉堡模型
特点：适用于直棱柱。
解题步骤：
- 找到直棱柱上下底面外接圆的圆心。
- 连线并求中点，即为球心。
- 球心到直棱柱各个顶点的距离都等于球的半径。
- 利用勾股定理计算球的半径。
例题：
已知一个直棱柱的高为4，底面边长为2，求其外接球的半径。
解答：
- 找到底面外接圆的圆心，即底面正方形的中心。
- 连线并求中点，即为球心。
- 球心到直棱柱各个顶点的距离都等于球的半径。
- 利用勾股定理计算球的半径：( R = \frac{2\sqrt{5}}{2} )。
模型三：斗笠模型
特点：适用于正四棱锥。
解题步骤：
- 找到正四棱锥底面外接圆的圆心。
- 连线并求中点，即为球心。
- 球心到正四棱锥各个顶点的距离都等于球的半径。
- 利用勾股定理计算球的半径。
例题：
已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为4，求其外接球的半径。
解答：
- 找到底面外接圆的圆心，即底面正方形的中心。
- 连线并求中点，即为球心。
- 球心到正四棱锥各个顶点的距离都等于球的半径。
- 利用勾股定理计算球的半径：( R = \frac{2\sqrt{5}}{2} )。
模型四：折叠模型
特点：适用于三棱锥。
解题步骤：
- 将三棱锥的侧面展开，形成一个扇形。
- 找到扇形的圆心，即为球心。
- 球心到三棱锥各个顶点的距离都等于球的半径。
- 利用勾股定理计算球的半径。
例题：
已知一个三棱锥的底面是直角三角形，侧棱长均为3，求其外接球的半径。
解答：
- 将三棱锥的侧面展开，形成一个扇形。
- 找到扇形的圆心，即为球心。
- 球心到三棱锥各个顶点的距离都等于球的半径。
- 利用勾股定理计算球的半径：( R = \frac{3\sqrt{2}}{2} )。
模型五：切瓜模型
特点：适用于棱锥。
解题步骤：
- 将棱锥的侧面展开，形成一个扇形。
- 找到扇形的圆心，即为球心。
- 球心到棱锥各个顶点的距离都等于球的半径。
- 利用勾股定理计算球的半径。
例题：
已知一个棱锥的底面是直角三角形，侧棱长均为3，求其外接球的半径。
解答：
- 将棱锥的侧面展开，形成一个扇形。
- 找到扇形的圆心，即为球心。
- 球心到棱锥各个顶点的距离都等于球的半径。
- 利用勾股定理计算球的半径：( R = \frac{3\sqrt{2}}{2} )。
模型六：面面垂直模型
特点：适用于有两个表面具有面面垂直特征的几何体。
解题步骤：
- 找到两个垂直表面的交线，即为球心所在直线。
- 在交线上找到球心。
- 球心到两个垂直表面的距离都等于球的半径。
- 利用勾股定理计算球的半径。
例题：
已知一个长方体的一个角是直角，长、宽、高分别为2、3、4，求其外接球的半径。
解答：
- 找到长方体的对角线，即为球心所在直线。
- 在对角线上找到球心。
- 球心到长方体的三个面的距离都等于球的半径。
- 利用勾股定理计算球的半径：( R = \frac{5\sqrt{2}}{2} )。
模型七：坐标法模型
特点：适用于可以用坐标表示的几何体。
解题步骤：
- 将几何体放入坐标系中。
- 设出球心坐标。
- 利用球心到各个顶点的距离都等于半径的条件，建立方程组求解球心坐标。
- 计算球的半径。
例题：
已知一个正方体的边长为2，求其外接球的半径。
解答：
- 将正方体放入坐标系中。
- 设出球心坐标为 ( (x, y, z) )。
- 利用球心到各个顶点的距离都等于半径的条件，建立方程组求解球心坐标。
- 计算球的半径：( R = \sqrt{3} )。
通过以上七大模型，我们可以轻松解决空间几何体的外接球问题。在实际解题过程中，可以根据具体情况选择合适的模型，从而提高解题效率。