模型一：三角函数有界性
三角函数有界性是三角函数中最基本且重要的特征之一。正弦函数和余弦函数具有有界性，即它们的值域被限制在一个特定的区间内。在解三角形最值问题时，这一特征至关重要。
1. 正弦函数和余弦函数的有界性
正弦函数和余弦函数的值域均为[-1, 1]。这意味着在任何情况下，正弦值或余弦值都不会超出这个范围。
2. 应用实例
在ABC三角形中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有：
- sinA ≤ 1
- sinB ≤ 1
- sinC ≤ 1
这个性质在解三角形最值问题时非常有用，可以帮助我们确定三角函数值的最大或最小可能值。
模型二：正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理是解三角形问题时的重要工具，它们可以帮助我们将多元问题降元，转变成一元问题，从而求解出最值。
1. 正弦定理
正弦定理表达式为：
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
其中，a、b、c分别为三角形ABC的边长，A、B、C为对应的角度。
2. 余弦定理
余弦定理表达式为：
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \]
其中，a、b、c分别为三角形ABC的边长，C为夹角。
3. 应用实例
在ABC三角形中，若已知两角及一边长度，可以利用正弦定理求解其他边的长度或角度。余弦定理可以用于求解复杂三角形的边长关系。
模型三：三角形面积公式
三角形面积公式是求解三角形面积问题的重要工具，它可以将三角形面积转化为与边长和角度相关的表达式。
1. 三角形面积公式
三角形面积公式为：
\[ S = \frac{1}{2}ab\sin C \]
其中，a、b分别为三角形的两边长度，C为这两边的夹角。
2. 应用实例
在ABC三角形中，若已知两边及夹角，可以利用三角形面积公式求解三角形的面积。
模型四：和差角公式
和差角公式是求解复杂角度的三角函数值的重要工具，它可以将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值。
1. 和差角公式
和差角公式如下：
\[ \sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B \]
\[ \cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B \]
\[ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B} \]
2. 应用实例
在ABC三角形中，若需要求解某个角的正弦、余弦或正切值，可以利用和差角公式将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值。
通过以上四大模型，我们可以有效地解决三角形最值问题。这些模型不仅可以帮助我们掌握三角函数的基本性质和应用，还可以在解决实际问题中发挥重要作用。