引言
在机器学习领域，有四大经典模型：线性回归、逻辑回归、支持向量机和决策树。这些模型在数据分析和预测中扮演着重要角色。本文将深入解析这四大模型的公式推导过程，帮助读者更好地理解其原理和应用。
1. 线性回归
1.1 模型概述
线性回归是一种用于预测因变量与自变量之间线性关系的统计模型。
1.2 公式推导
假设我们有数据集 ( D = {(x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)} )，其中 ( x_i ) 是自变量，( y_i ) 是因变量。
线性回归模型试图找到一个线性函数 ( f(x) = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 + … + w_nx_n )，使得 ( f(x_i) ) 与 ( y_i ) 之间的误差最小。
均方误差（MSE）是衡量预测值与真实值之间差异的指标，公式如下：
[ MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - f(x_i))^2 ]
为了使MSE最小，我们需要找到使得 ( \frac{dMSE}{dw} = 0 ) 的 ( w ) 值。
通过求导和化简，我们可以得到最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）的解：
[ w = (X^T X)^{-1} X^T y ]
其中，( X ) 是自变量矩阵，( y ) 是因变量向量。
2. 逻辑回归
2.1 模型概述
逻辑回归是一种用于预测二元分类结果的统计模型。
2.2 公式推导
假设我们有数据集 ( D = {(x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)} )，其中 ( x_i ) 是自变量，( y_i ) 是二元分类结果（通常为0或1）。
逻辑回归模型使用Sigmoid函数 ( \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} ) 将线性组合 ( w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 + … + w_nx_n ) 映射到 ( [0, 1] ) 区间，表示某个事件发生的概率。
逻辑回归的损失函数为对数似然损失（Log-Likelihood Loss），公式如下：
[ L(\theta) = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [y_i \log(\sigma(x_i)) + (1 - y_i) \log(1 - \sigma(x_i))] ]
其中，( \theta ) 是模型参数向量。
为了最小化损失函数，我们可以使用梯度下降法来更新 ( \theta ) 的值。
3. 支持向量机
3.1 模型概述
支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种用于分类和回归的机器学习模型。
3.2 公式推导
假设我们有数据集 ( D = {(x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)} )，其中 ( x_i ) 是自变量，( y_i ) 是分类结果。
SVM模型的目的是找到一个最优的超平面，使得正类和负类数据点尽可能分开。
超平面的方程为：
[ w^T x + b = 0 ]
其中，( w ) 是法向量，( b ) 是偏置项。
SVM的目标函数是：
[ J(w, b) = \frac{1}{2} ||w||^2 + C \sum_{i=1}^{n} \xi_i ]
其中，( C ) 是惩罚参数，( \xi_i ) 是松弛变量。
为了求解最优的 ( w ) 和 ( b )，我们可以使用拉格朗日乘子法。
4. 决策树
4.1 模型概述
决策树是一种用于分类和回归的树形结构模型。
4.2 公式推导
决策树的构建过程如下：
- 选择一个特征作为根节点。
- 根据该特征将数据集划分为若干个子集。
- 对每个子集重复步骤1和2，直到满足停止条件（例如，子集大小小于某个阈值或所有数据点的类别相同）。
- 将每个子集的类别作为叶节点。
决策树的损失函数通常为交叉熵损失（Cross-Entropy Loss），公式如下：
[ L(T) = -\sum_{i=1}^{n} [y_i \log(p_i) + (1 - y_i) \log(1 - p_i)] ]
其中，( T ) 是决策树，( p_i ) 是样本 ( x_i ) 属于类别 ( y_i ) 的概率。
为了最小化损失函数，我们可以使用贪心算法来构建决策树。
总结
本文深入解析了线性回归、逻辑回归、支持向量机和决策树四大模型的公式推导过程。通过理解这些模型的原理，读者可以更好地应用它们解决实际问题。