引言
小学奥数作为提升学生逻辑思维和数学能力的重要途径，在培养学生的数学兴趣和解决问题的能力方面发挥着重要作用。面对各种复杂的奥数题目，掌握一定的解题模型是关键。本文将详细介绍九大奥数模型，并通过实战解析帮助读者更好地理解和应用这些模型。
一、等积变换模型
模型概述
等积变换模型主要包括以下内容：
- 等底等高的两个三角形面积相等；
- 高相等的三角形，面积比等于它们的底之比；
- 底相等的三角形，面积比等于它们的高之比；
- 正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
- 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。
实战解析
例题：已知一个等腰三角形底边长为6cm，腰长为8cm，求该三角形的面积。
解：由等积变换模型可知，该三角形的面积等于底边长乘以高的一半。首先，作高AD，则AD=√(8²-3²)=√(64-9)=√55。因此，三角形面积S=6×√55/2=3√55 cm²。
二、共角定理（鸟头模型）
模型概述
共角定理（鸟头模型）是指两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两边的乘积之比。
实战解析
例题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=2AE，求三角形ADE的面积与三角形ABC的面积之比。
解：由共角定理可知，三角形ADE与三角形ABC为共角三角形，且∠A为共角。因此，三角形ADE的面积与三角形ABC的面积之比为AD²：AB²=4：9。
三、蝴蝶定理模型
模型概述
蝴蝶定理模型是指任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）：S₁：S₂：S₃：S₄ = 1：2：4：8 或 S₁：S₂：S₃：S₄ = 1：3：2：4。
实战解析
例题：已知四边形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，CD=4cm，AD=5cm，求四边形ABCD的面积。
解：由蝴蝶定理模型可知，四边形ABCD的面积S₁：S₂：S₃：S₄ = 1：2：4：8。设四边形ABCD的面积为S，则S₁=1/15S，S₂=2/15S，S₃=4/15S，S₄=8/15S。根据题意，ABCD的面积S=2cm×3cm+3cm×4cm+4cm×5cm+5cm×2cm=50cm²。因此，四边形ABCD的面积为50cm²。
四、相似模型
模型概述
相似模型主要包括以下内容：
- 相似三角形的对应线段成比例，并且这个比值等于相似比；
- 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
实战解析
例题：在相似三角形ABC和DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，AB=6cm，DE=8cm，求三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比。
解：由相似模型可知，三角形ABC与三角形DEF的相似比为AB：DE=6：8=3：4。因此，三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为3²：4²=9：16。
五、燕尾定理
模型概述
燕尾定理是指因为图形像燕子而得名，这是一个关于面积和线段之间比例关系的定理。
实战解析
例题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=2AE，求三角形ADE的面积与三角形ABC的面积之比。
解：由燕尾定理可知，三角形ADE与三角形ABC为共角三角形，且∠A为共角。因此，三角形ADE的面积与三角形ABC的面积之比为AD²：AB²=4：9。
六、归一问题
模型概述
归一问题是指在解题时先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
实战解析
例题：买5支铅笔需要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
解：先求出一支铅笔多少钱——0.6元/5支=0.12元/支。再求买16支铅笔需要多少钱——0.12元/支×16支=1.92元。
七、归总问题
模型概述
归总问题是指在解题时先找出总数量”，再根据已知条件解决问题的题型。所谓总数量”可以指货物总价、几天的工作量、几亩地的总产量、几小时的总路程等。
实战解析
例题：服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进剪裁方法后，每套衣服用布2.8米。问原来做791套衣服的布，现在可以做多少套衣服？
解：先求这批布总共多少米——3.2米/套×791套=2543.2米。再求现在可以做多少套——2543.2米/2.8米/套=904套。
八、和差问题
模型概述
和差问题是指已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。
实战解析
例题：已知两个数的和为15，差为3，求这两个数。
解：设这两个数分别为x、y，则x+y=15，x-y=3。联立方程组，解得x=9，y=6。
九、分数裂项
模型概述
分数裂项是小学奥数重要模块，题型多变。总体分为分数裂和、分数裂差、复杂裂项。
实战解析
例题：计算以下分数裂项：
1⁄2 + 1⁄6 + 1⁄12 + … + 1⁄90
解：将分数裂项拆分为两部分：
1⁄2 + (1⁄3 - 1⁄6) + (1⁄4 - 1⁄12) + … + (1⁄9 - 1⁄18)
然后进行合并同类项：
1⁄2 + 1⁄3 - 1⁄6 + 1⁄4 - 1⁄12 + … + 1⁄9 - 1⁄18
最后，将相邻的分数相减，得到：
1⁄2 + 1⁄3 + 1⁄4 + … + 1⁄9 - 1⁄18
这是一个等差数列求和问题，求和公式为：
S = (首项 + 末项) × 项数 / 2
将等差数列的首项、末项和项数代入求和公式，得到：
S = (1⁄2 + 1⁄9) × 9 / 2 = 10⁄18 = 5⁄9
因此，原分数裂项的结果为5/9。