引言
在小学奥数中，几何模型是培养学生空间想象力和逻辑思维能力的重要部分。掌握以下五大几何模型，能够帮助学生更好地解决各种几何难题。
一、等积变换模型
概述
等积变换模型主要包括以下几条规律：
- 等底等高的两个三角形面积相等；
- 两个三角形高相等，面积之比等于底之比；
- 两个三角形底相等，面积之比等于高之比；
- 在一组平行线之间的等积变形。
应用
例题：如图，ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求DEF的面积。
解答
依据等积变换知，( \frac{1}{2} \times S{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \times S{\triangle ABC} )，即 ( S{\triangle ADC} = 12 )； 又因为 ( \frac{1}{2} \times S{\triangle ADE} = \frac{1}{2} \times S{\triangle ADC} )，所以 ( S{\triangle ADE} = 6 )； ( \frac{1}{2} \times S{\triangle DEF} = \frac{1}{2} \times S{\triangle ADE} )，即 ( S_{\triangle DEF} = 3 )。
二、鸟头模型（共角定理）
概述
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
应用
例题：在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，如图1所示，求 ( S{\triangle ADE} : S{\triangle ABC} )。
解答
由共角定理，( \frac{S{\triangle ADE}}{S{\triangle ABC}} = \frac{AD \times AE}{AB \times AC} )。
三、蝴蝶定理模型
概述
任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）：( \frac{S{\triangle ABC}}{S{\triangle ABD}} = \frac{S{\triangle ACD}}{S{\triangle DBC}} )。
应用
例题：在四边形ABCD中，( \frac{S{\triangle ABC}}{S{\triangle ABD}} = \frac{2}{3} )，求 ( \frac{S{\triangle ACD}}{S{\triangle DBC}} )。
解答
由蝴蝶定理，( \frac{S{\triangle ACD}}{S{\triangle DBC}} = \frac{2}{3} )。
四、相似模型
概述
相似模型主要包括相似三角形的性质，如：
- 相似三角形对应边成比例；
- 相似三角形对应角相等；
- 相似三角形面积之比等于对应边长比的平方。
应用
例题：在相似三角形ABC和DEF中，( \frac{AB}{DE} = 2 )，求 ( \frac{S{\triangle ABC}}{S{\triangle DEF}} )。
解答
由相似三角形的性质，( \frac{S{\triangle ABC}}{S{\triangle DEF}} = \frac{AB^2}{DE^2} = 4 )。
五、燕尾定理模型
概述
燕尾定理模型主要应用于梯形，如：
- 梯形的中位线等于上底和下底的平均值；
- 梯形的中位线长度等于平行四边形的一半。
应用
例题：在梯形ABCD中，上底AD为5cm，下底BC为10cm，求梯形的中位线长度。
解答
梯形的中位线长度等于 ( \frac{AD + BC}{2} = \frac{5 + 10}{2} = 7.5 )cm。
通过掌握以上五大几何模型，学生可以更好地解决各种几何难题，提高数学思维能力。