引言
圆压轴题是中考数学中常见且难度较高的题型，通常位于试卷的倒数第二题。这类题目综合性强，涉及圆的性质、几何证明和计算等多个方面。本文将结合近年来各省市中考题，深入解析圆压轴题的八大模型，帮助考生掌握解题技巧，提高解题能力。
模型一：弧中点的运用
1.1 模型概述
在圆中，若点C是弦AD的中点，且弦CE与弦AB相交于点E，则有以下结论：
- AP = CP = FP
- CH = AD
- AC² = AP·AD = CF·CB = AE·AB
1.2 实战解析
例题：如图，圆O中，点C是弦AD的中点，弦CE与弦AB相交于点E。
（1）证明：AP = CP = FP；
（2）证明：CH = AD；
（3）证明：AC² = AP·AD = CF·CB = AE·AB。
解析：
（1）由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：CAD = BAE，CPE = PFC，所以AP = CP = FP。
（2）由垂径定理和弧中点的性质得，DC = AC·AH，再由弧叠加得：CH = AD。
（3）由共边角相似易证：ACE ≌ ABC，ACP ≌ ADC，ACF ≌ BCA，进而得AC² = AE·AB = AP·AD = CF·CB。
模型二：切割线互垂
2.1 模型概述
在直角三角形中，若以斜边为直径的圆与直角边相切，则切点与直角顶点的连线垂直于斜边。
2.2 实战解析
例题：如图，在直角三角形ABC中，点E是斜边AB上一点，以EB为直径的圆与AC相切于点D，与BC相交于点F。
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求证：BD² = BC·BE；
（3）求证：AE² = AD·AB。
解析：
（1）由切线垂直于半径得：DF⊥AC。
（2）由切线定理得：BD² = BC·BE。
（3）由勾股定理和切割线定理得：AE² = AD·AB。
模型三：双切线组合
3.1 模型概述
在直角三角形中，若以直角边为直径的圆与斜边相切，则切点与斜边的两个端点连线互相垂直。
3.2 实战解析
例题：如图，在直角三角形ABC中，ABC = 90°，点A在斜边BC上，以AB为直径的圆与AC相切于点D，与BC相交于点E。
（1）求证：DE⊥AC；
（2）求证：AE² = AD·AB；
（3）求证：BE² = BC·CD。
解析：
（1）由切线垂直于半径得：DE⊥AC。
（2）由勾股定理和切割线定理得：AE² = AD·AB。
（3）由勾股定理和切割线定理得：BE² = BC·CD。
模型四：圆内接四边形
4.1 模型概述
在圆内，若四边形ABCD的对角互补，则该四边形为圆内接四边形。
4.2 实战解析
例题：如图，在圆O内，四边形ABCD中，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
（1）证明：四边形ABCD为圆内接四边形；
（2）求证：AD·BC = AB·CD。
解析：
（1）由圆内接四边形的性质得：四边形ABCD为圆内接四边形。
（2）由圆内接四边形的性质得：AD·BC = AB·CD。
模型五：圆外切四边形
5.1 模型概述
在圆外，若四边形ABCD的对角互补，则该四边形为圆外切四边形。
5.2 实战解析
例题：如图，在圆O外，四边形ABCD中，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
（1）证明：四边形ABCD为圆外切四边形；
（2）求证：AD·BC = AB·CD。
解析：
（1）由圆外切四边形的性质得：四边形ABCD为圆外切四边形。
（2）由圆外切四边形的性质得：AD·BC = AB·CD。
模型六：圆内接等腰三角形
6.1 模型概述
在圆内，若三角形ABC为等腰三角形，且底边BC为圆的直径，则顶点A在圆的直径上。
6.2 实战解析
例题：如图，在圆O内，三角形ABC为等腰三角形，底边BC为圆的直径。
（1）证明：顶点A在圆的直径上；
（2）求证：∠BAC = ∠BCA。
解析：
（1）由圆内接等腰三角形的性质得：顶点A在圆的直径上。
（2）由圆内接等腰三角形的性质得：∠BAC = ∠BCA。
模型七：圆外切等腰三角形
7.1 模型概述
在圆外，若三角形ABC为等腰三角形，且底边BC为圆的切线，则顶点A在圆的切线上。
7.2 实战解析
例题：如图，在圆O外，三角形ABC为等腰三角形，底边BC为圆的切线。
（1）证明：顶点A在圆的切线上；
（2）求证：∠BAC = ∠BCA。
解析：
（1）由圆外切等腰三角形的性质得：顶点A在圆的切线上。
（2）由圆外切等腰三角形的性质得：∠BAC = ∠BCA。
模型八：圆内接直角三角形
8.1 模型概述
在圆内，若三角形ABC为直角三角形，则斜边AB为圆的直径。
8.2 实战解析
例题：如图，在圆O内，三角形ABC为直角三角形。
（1）证明：斜边AB为圆的直径；
（2）求证：∠C = 90°。
解析：
（1）由圆内接直角三角形的性质得：斜边AB为圆的直径。
（2）由圆内接直角三角形的性质得：∠C = 90°。
总结
圆压轴题八大模型是中考数学中常见的题型，掌握这些模型和解题技巧对于提高解题能力至关重要。考生在复习过程中，应注重理解模型背后的原理，结合实际例题进行练习，以达到熟练掌握的目的。