模型一：正比例函数
概念
正比例函数是形如 ( y = kx ) 的函数，其中 ( k ) 为常数，且 ( k \neq 0 )。
性质
- 图像是一条经过原点的直线。
- 当 ( k > 0 ) 时，图像经过第一、三象限，( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。
- 当 ( k < 0 ) 时，图像经过第二、四象限，( y ) 随 ( x ) 的增大而减小。
应用
- 描述两个变量成正比的关系，如速度、密度等。
模型二：一次函数
概念
一次函数是形如 ( y = kx + b ) 的函数，其中 ( k ) 和 ( b ) 为常数，且 ( k \neq 0 )。
性质
- 图像是一条直线。
- 当 ( k > 0 ) 时，直线经过第一、三象限，( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。
- 当 ( k < 0 ) 时，直线经过第二、四象限，( y ) 随 ( x ) 的增大而减小。
- ( b ) 决定直线与 ( y ) 轴的交点位置。
应用
- 描述两个变量的一次关系，如直线运动、线性增长等。
模型三：反比例函数
概念
反比例函数是形如 ( y = \frac{k}{x} ) 的函数，其中 ( k ) 为常数，且 ( k \neq 0 )。
性质
- 图像为双曲线。
- 当 ( k > 0 ) 时，图像位于第一、三象限。
- 当 ( k < 0 ) 时，图像位于第二、四象限。
- 图像关于原点中心对称。
应用
- 描述两个变量成反比的关系，如速度、浓度等。
模型四：二次函数
概念
二次函数是形如 ( y = ax^2 + bx + c ) 的函数，其中 ( a )、( b ) 和 ( c ) 为常数，且 ( a \neq 0 )。
性质
- 图像为抛物线。
- 当 ( a > 0 ) 时，抛物线开口向上。
- 当 ( a < 0 ) 时，抛物线开口向下。
- 抛物线的顶点坐标为 ( (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}) )。
应用
- 描述两个变量的二次关系，如物体的运动、经济增长等。
模型五：指数函数
概念
指数函数是形如 ( y = a^x ) 的函数，其中 ( a ) 为常数，且 ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )。
性质
- 图像为一条曲线。
- 当 ( a > 1 ) 时，图像随 ( x ) 的增大而增大。
- 当 ( 0 < a < 1 ) 时，图像随 ( x ) 的增大而减小。
应用
- 描述两个变量的指数关系，如人口增长、细菌繁殖等。
模型六：对数函数
概念
对数函数是形如 ( y = \log_a x ) 的函数，其中 ( a ) 为常数，且 ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )。
性质
- 图像为一条曲线。
- 当 ( a > 1 ) 时，图像随 ( x ) 的增大而增大。
- 当 ( 0 < a < 1 ) 时，图像随 ( x ) 的增大而减小。
应用
- 描述两个变量的对数关系，如声音强度、放射性物质衰变等。
模型七：幂函数
概念
幂函数是形如 ( y = x^n ) 的函数，其中 ( n ) 为常数。
性质
- 图像为一条曲线。
- 当 ( n > 0 ) 时，图像随 ( x ) 的增大而增大。
- 当 ( n < 0 ) 时，图像随 ( x ) 的增大而减小。
应用
- 描述两个变量的幂关系，如物理中的功率、面积等。
模型八：分段函数
概念
分段函数是由多个分段函数组成的函数，每个分段函数在各自的定义域内有效。
性质
- 图像由多个分段组成。
- 每个分段函数在各自的定义域内有效。
应用
- 描述两个变量的分段关系，如温度变化、分段计费等。
模型九：三角函数
概念
三角函数是形如 ( y = \sin x )、( y = \cos x ) 和 ( y = \tan x ) 的函数，其中 ( x ) 为角度。
性质
- 图像为周期性曲线。
- 当 ( x ) 的取值在 ( [0, 2\pi] ) 范围内时，( \sin x ) 和 ( \cos x ) 的值在 ( [-1, 1] ) 范围内。
- ( \tan x ) 在 ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi ) （( k ) 为整数）时无定义。
应用
- 描述两个变量的三角关系，如振动、旋转等。
模型十：复合函数
概念
复合函数是由两个或多个函数组成的函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
性质
- 图像由多个函数的图像组成。
- 复合函数的图像可能具有多个周期性。
应用
- 描述两个变量的复合关系，如经济模型、物理模型等。